Question

【題目】（1）如圖（1），已知：正方形ABCD的對角線交于點O，E是AC上的一動點，過點A作AG⊥BE于G，交BD于F．求證：OE＝OF．

（2）在（1）的條件下，若E點在AC的延長線上，以上結論是否成立，為什么？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）以上結論仍然成立．

【解析】

（1）利用正方形的性質得OA＝OB，∠AOB＝∠BOC＝90°，則利用等角的余角相等得到∠GAE＝∠OBE，則可根據”ASA“判斷△AOF≌△BOE，從而得到OF＝OE；

（2）同樣方法證明△AOF≌△BOE，仍然得到OF＝OE．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴OA＝OB，∠AOB＝∠BOC＝90°，

∵AG⊥BE于點G，

∴∠AGE＝90°，

∴∠GAE＝∠OBE，

在△AOF和△BOE中，，

∴△AOF≌△BOE（ASA），

∴OF＝OE；

（2）解：以上結論仍然成立．理由如下：

同樣可證明△AOF≌△BOE（ASA），所以OF＝OE．