Question

【題目】六條腿桌子放在水平地面上，如圖甲所示，尺寸如圖乙所示，桌面是剛性的，各條腿完全相同。

(1).證明：在圖示菱形區域內任意點處，施加一鉛垂力時，六條腿都與地面接觸。

(2).在上述情況下，求各條腿的內力。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）. ；；；；；

【解析】

如圖乙所示，取坐標系，設力作用點的坐標為，平衡時力等效于作用在中心的力和分別沿方向和方向的力偶和，其大小為

，，.

可分別求出在力、力偶和單獨作用下各腿的反力，然后疊加起來，所得的結果，就是在力作用下各腿的內力。

由靜力平衡條件，桌腿的對稱性及由桌面剛性條件而列出的變形協調條件，不難分別求出作用在中心的，，引起的各腿的反力。

在力作用下，各腿受力相同。

.

在作用下，，

故，

故，.

這里取正值為壓力，并暫時假定有些腿可以承受拉力，在作用下，有

，，.

以上三者疊加起來得

，，

，，

，.

由于桌腿只承受壓力，所以必須保證上述各內力均為非負值的解答才是正確的。

即令，其中如果力作用在桌面內，，自然滿足，由其他四個不等式可得.

這就是圖中的菱形區，當力的作用點在這個菱形區域內時，各腿與地面接觸，此時各腿的內力（壓力）已如上述。