Question

【題目】如圖甲所示，質(zhì)量同為m、電量同為的一簇帶電粒子，從點(diǎn)以相同速率在xOy平面內(nèi)向右上方各方向射出，即角在0到范圍內(nèi)，試在xOy平面內(nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)電場(chǎng)區(qū)域，使這些帶電粒子全部都會(huì)聚于點(diǎn)．，在y軸的兩側(cè)，與原點(diǎn)O的距離同為R．設(shè)帶電粒子的相互作用可略。

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

為使粒子能會(huì)聚到，外加電場(chǎng)對(duì)粒子的作用力應(yīng)能使不同粒子經(jīng)不同的彎曲軌道到達(dá)同一點(diǎn)，于是聯(lián)想到重力場(chǎng)對(duì)斜拋物體的作用，可以達(dá)到類似目的．由此，首先想到設(shè)計(jì)的外電場(chǎng)是與重力場(chǎng)類似的勻強(qiáng)電場(chǎng)。

注意到，以相同速率、不同拋射角拋出的物體，其水平（x軸方向）射程是不同的，不能都落到同一點(diǎn)上，這是重力場(chǎng)無(wú)處不在的結(jié)果．為使帶電粒子都能通過(guò)點(diǎn)，需要為不同的拋射角調(diào)整出不同的水平射程，也就是說(shuō)，先讓粒子在無(wú)電場(chǎng)區(qū)域內(nèi)沿直線運(yùn)動(dòng)，使水平射程從2R減小到與該角對(duì)應(yīng)的水平射程大小相同時(shí)，再讓該粒子進(jìn)入到勻強(qiáng)場(chǎng)區(qū)，入射點(diǎn)便為勻強(qiáng)場(chǎng)區(qū)的邊界點(diǎn)．總之，可以嘗試著設(shè)計(jì)一個(gè)有邊界的勻強(qiáng)靜電場(chǎng)區(qū)，看是否能讓帶電粒會(huì)聚到P點(diǎn)．

設(shè)計(jì)的場(chǎng)區(qū)如圖乙所示，場(chǎng)強(qiáng)方向與y軸反向，大小取為E．帶電粒子在場(chǎng)區(qū)內(nèi)得到與y軸反向的加速度，大小為

，

在場(chǎng)區(qū)內(nèi)帶電粒子沿拋物線軌道運(yùn)動(dòng)。取場(chǎng)區(qū)右側(cè)邊界點(diǎn)，其中x對(duì)應(yīng)經(jīng)過(guò)該邊界點(diǎn)的帶電粒子斜拋軌道的半水平射程．將此段路程所經(jīng)時(shí)間記為t，則有

，．

聯(lián)立，消去t，得

．

與幾何關(guān)系

，

聯(lián)立，得

，

這就是場(chǎng)區(qū)的右邊界．由對(duì)稱性，以代替方程式中的x，即得場(chǎng)區(qū)的左半邊界方程為

，