Question

【題目】一個大容器中裝有互不相溶的兩種液體，它們的密度分別為和．現(xiàn)讓一長為L、密度為的均勻木棍，豎直地放在上面液體內(nèi)，其下端離兩液體分界面的距離為3L/4，由靜止開始下落．試計算木棍到達最低處所需的時間．假定由于木棍運動而產(chǎn)生的液體阻力可以忽略不計，且兩液體都足夠深，保證木棍始終都在液體內(nèi)部運動，既未露出液面，也未與容器相碰．

Answer 1

【答案】

【解析】

1．用S表示木棍的橫截面積，從靜止開始到其下端到達兩液體交界面為止，在這過程中，木棍受向下的重力和向上的浮力．由牛頓第二定律可知，其下落的加速度為．

用表示所需的時間，則，

由此解得．

2．木棍下端開始進入下面液體后，用表示木棍在上面液體中的長度，這時木棍所受重力不變，仍為，但浮力變?yōu)?/span>，當(dāng)時，浮力小于重力；當(dāng)時，浮力大于重力，可見有一個合力為零的平衡位置．用表示在此平衡位置時，木棍在上面液體中的長度，則此時有

，

由此可得．

即木棍的中點處于兩液體交界處時，木棍處于平衡狀態(tài)，取一坐標(biāo)系，其原點位于交界面上，豎直方向為z軸，向上為正，則當(dāng)木棍中點的坐標(biāo)時，木棍所受合力為零，當(dāng)中點坐標(biāo)為z時，所受合力為

式中．

這時木棍的運動方程為

為沿z方向的加速度為

所以，．

由此可知為簡諧振動，其周期為．

為了求木棍同時．在兩種液體中運動的時間，先求振動的振幅A．木棍下端剛進入下面液體時，其速度為

由機械能守恒可知，

式中為此時木棍中心距坐標(biāo)原點的距離。

由上述各式可得A=L．

由此可知，從木棍下端開始進入下面液體到棍中心到達坐標(biāo)原點所走的距離是振幅的一半，從參考圓（如圖所示）上可知，對應(yīng)的為30°，對應(yīng)的時間為，因此木棍從下端開始進入下面液體到上端進入下面液體所用的時間，即棍中心從到所用的時間為

3．從木棍全部浸入下面液體開始，受力情況的分析和1中類似，只是浮力大于重力，所以做勻減速運動，加速度的數(shù)值與一樣，其過程和1中情況相反地對稱，所用時間．

4．總時間為．