Question

【題目】一宇宙人在太空（萬有引力可以忽略）玩壘球，遼闊的太空球場半側存在均勻電場E，另半側存在均勻磁場B，電場與磁場的分界面為平面，電場方向與界面垂直，磁場方向垂直紙面指向里。宇宙人位于電場一側距界面為h的P點，O點是P點至界面垂線的垂足，D點位于紙面上O點的右側，OD與磁場B的方向垂直，，如圖所示。壘球的質量為m，且帶有電量。

(1)宇宙人是否可能自P點以某個適當的投擲角（與界面所成的夾角）及適當的初速度投出壘球，使它經過D點，然后歷經磁場一次自行回至P點？試討論實現這一游戲，d必須滿足的條件并求出相應、。

(2)若宇宙人從P點以初速度平行于界面投出壘球，要使壘球擊中界面上的某一D點，初速度的指向和大小應如何？

Answer 1

【答案】（1） ，；， （2）見解析

【解析】

(1)（�。┤鐖D1所示，以O為原點，作一直角坐標系，使x軸與直線OD重合，y軸與直線OP重合。根據題中所給條件，若宇宙人在面內將壘球投向y軸的右側，使壘球保持在平面內運動，則在電場區，壘球做斜拋（或平拋）運動，當壘球到達分界面上的D點時，其速度與x軸夾角為。進入磁場區后，壘球沿半徑為R的圓弧運動，到達界面的另一點，又從進入電場區做斜上拋運動。只要位于x軸上O點的左側，且，壘球就能自斜拋恰好回到P點。

由于， ①

因而。

設a為壘球在電場區垂直“下落”的加速度，得

， ②

所以

， ③

式中“+”與“－”分別對應于在P點做斜上拋與斜下拋的情況。

設壘球從P點到D點所經歷的時間為，則

， ④

而， ⑤

將②⑤式代入④式，得，

解得

。 ⑥

因③式和⑥式是實數，故必須滿足條件：

。

①若，

則由③式和⑥式可得，，

即，。

②若，

則有

，

。

式中根式前面取“+”號對應于從P點做斜向上拋的運動，取“－”對應于從P點做斜向下拋的運動（如圖1所示）。

③當時，無論怎樣選取和，投出的壘球都無法按題中要求回至P點。

（ⅱ）在與D并不關于O點對稱的情況下，壘球亦有可能回到拋出點，此時，壘球在電場區域內的運動構成一段完整的拋物線，如圖2所示。

仍將分解為與，在磁場區域，由前面的解答易得。

在電場區域，有

，，。

由此易知。

先考慮如圖2（a）所示的情形，此時壘球斜向上拋，此情形下，壘球從P點運動到D點，所用時間為，

解得，

，

。

再考慮如圖2（b）所示的情形，此時壘球斜向下拋，同理可得

，

。

(2)平行于界面的初速度必須指向正x軸方向才有可能擊中D點。擊中D點方式有如下三種：

①從P點平拋出后經過電場區域，直接到達D點。若所經歷時間為t，則由

，

消去t，得。

②從P點向右平拋“下落”，然后經磁場回轉，又在電場區斜上拋，如此循環，歷經磁場n次，最終在電場區經斜上拋到達D點，如圖3（a）所示。

設自P點平拋的水平射程。壘球經磁場回轉一次，在x軸方向倒退。其中

。

從出磁場區后經電場區的斜上拋運動，壘球在x軸方向前進。如此歷經n次循環，最后從電場區到達D點，應有

，

解得。

若P點拋出的初速度為，則由

，

消去t，得，或。

③自P點向右平拋“下落”，再經磁場回轉，然后在電場區斜上拋，如此循環，歷經磁場n次，最終在磁場區回轉到達D點，如圖3（b）所示。

設自P點平拋的水平射程為，則應有

，

解得。

相應的初速度為，則有

，

或，

以上各式中n=1，2，3，…。