Question

【題目】水平臺(tái)面上有一內(nèi)壁光滑的細(xì)長(zhǎng)管道，可繞臺(tái)面上的小孔O在臺(tái)面上旋轉(zhuǎn)。一根勁度系數(shù)為k的彈性輕繩，下端固定在O孔正下方某處，上端位于O孔時(shí)，彈性繩恰好處于自由長(zhǎng)度狀態(tài)。讓繩的上端連接質(zhì)量為m的小球后進(jìn)入管道，繩與小孔之間無(wú)摩擦，通過(guò)外力使管道以恒定的角速度旋轉(zhuǎn)。在臺(tái)面上設(shè)定極軸方向如圖所示，時(shí)，小球位于，處，徑向速度為。

（1）試問(wèn)：、取何值時(shí)，小球相對(duì)臺(tái)面的運(yùn)動(dòng)軌道恰好是方程的對(duì)數(shù)螺線？

（2）當(dāng)、取（1）問(wèn)所求值時(shí)，試求管壁對(duì)小球的水平作用力N以及小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的切向（并非橫向）加速度以及各自隨小球位置參量的變化關(guān)系。

Answer 1

【答案】（1），（2），

【解析】

軌道方程：；

運(yùn)動(dòng)方程：，。

速度與加速度分布：

，，

，

。

1．由，得。

再由得。

2．由得。

由，得。