Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CB=CE．

（1）證明：∠D=∠E；
（2）設AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，

∴∠D=∠CBE，

∵CB=CE，

∴∠E=∠CBE，

∴∠D=∠E；

（2）解：設BC的中點為N，連接MN，則由MB=MC知MN⊥BC，

∴O在直線MN上，

∵AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，

∴OM⊥AD，

∴AD∥BC，

∴∠A=∠CBE，

∵∠CBE=∠E，

∴∠A=∠E，

由（1）知，∠D=∠E，

∴△ADE為等邊三角形．

【解析】（1）利用四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可證明：∠D=∠E；（2）設BC的中點為N，連接MN，證明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，進而可得∠A=∠E，即可證明△ADE為等邊三角形．