Question

【題目】在光滑水平板上放著一塊質量為的板，板上疊放著一個斜面體和一個物體（如圖所示），斜面體和物體的質量分別為和，斜面體斜面的傾角為。已知和之間的動摩擦因數為，和之間的動摩擦因數為，現用一個水平恒力F作用在上。問：F為多大時，三個物體可保持相對靜止？

Answer 1

【答案】（1）時，三物體不能保持相對靜止

（2）時，F的范圍是：

（3），F的范圍是：

，且當，亦即時，上述的（2）、（3）又變為：

（4），F的范圍是：

（5），F的范圍是：

【解析】

當三個物體間無相對滑動時，將三個物體看作整體，有.

顯然，要求作用力，即要求整體運動的加速度.

若、間無滑動，則要保證和間無滑動，則系統最大的加速度為，

即.

若、間無滑動，要保證和間無滑動，則系統存在兩種極端情況，即剛好不下滑和剛好不上滑兩種情況，下面先求出這兩種情況所對應的加速度值.

以為參照系，不相對滑動，則的受力滿足

， ①

， ②

且. ③

整理上述三式可得

，. ④

聯立①④兩式可得

，且.

顯然，要確定的取值范圍，需要比較、、的大小，而是明顯的，為了方便，我們不妨在數軸上說明其大小關系.

先設、在數軸上的位置如圖乙所示，此時，即，亦即.

（1）若，即，則三物體不能保持相對靜止；

（2）若，即，則的范圍是

.

（3）若，即，則的范圍是

.

而當，即，亦即時，上述的（2）（3）又變為

（4），的范圍是.

（5），的范圍是.

本題是一道多對象，多臨界狀態的試題. 這類試題的解答，需要答題者在多個條件下進行比較、篩選，難度都比較大.

在本題所含的臨界狀態分析中，不僅僅是摩擦力的臨界問題，同時還包含了從結論的表達式中挖掘處隱含著的臨界問題，如題中的取值范圍的確定.

本題的解答采用了數軸劃分區間的處理方式，體現了對數學知識運用的能力.

對于表達式類的結果，如果式中含有根式、正弦或余弦、對數、分式的分母中可能出現零的情況，都意味著我們應該對表達式產生的結果進行討論，這里面既有臨界問題的分析，更有狀態質變的可能，這類情況普遍存在于各類試題中.