Question

【題目】某熱機是裝有氣體的圓筒，筒內活塞的運動受到擋板AA和BB限制（如圖所示）。緩慢加熱氣體，直到活塞剛碰到擋板BB，此后彈簧底部從位置CC移到位置DD。然后容器緩慢地冷卻，直到活塞剛碰到擋板AA。當彈簧底向后移到CC時，容器又加熱，等等。求這熱機的效率。筒內裝的氦氣，活塞面積，彈簧的勁度系數，在未伸長狀態時彈簧長度，外界壓強不計。

Answer 1

【答案】

【解析】

在圖上作出氣體循環過程。從氣體膨脹開始。加熱緩慢地進行，所以可以認為，任何時刻活塞處于平衡狀態。彈簧未伸長狀態長度等于從容器左壁到CC線的距離（見圖上表示的長度），所以當氣體膨脹時（活塞從擋板AA運動到擋板BB），彈簧的彈力與氣體體積成正比，，于是氣體壓強。在這一階段氣體體積從增加到。氣體壓強從增加到（如圖所示）。

當彈簧底從CC移到DD后，彈簧的彈力減小。導致容器冷卻時氣體未能立即開始壓縮，而只是氣體對活塞的壓力減小，直到氣體壓力等于彈簧的彈力。這發生在時。當進一步冷卻時氣體將被壓縮，則壓強將按如下規律變化：，

式中為固定在DD位置時彈簧未發生形變情況下氣體的體積：。由此可見，。

當彈簧底從DD移到CC后，彈簧的彈力增大。當再加熱氣體時，氣體只是從氣體壓力增加到等于彈簧彈力值時開始膨脹。這發生在時，以后過程重復。

氣體在一個循環內做的功數值上等于圖上平行四邊形的面積，即。

在和段，氣體獲得的熱量為

由此可見，這熱機的效率為。