Question

【題目】球形線圈是由表面絕緣的細導線在半徑為的球面上沿一固定直徑密繞而成，沿該直徑單位長度的匝數為，并且各處的都相同，當導線中載有電流時，試求：

（1）球心的磁感強度；

（2）該直徑端點的磁感強度．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）設該直徑為，它是線圈的軸線．因為是細導線密繞，故每匝線圈的電流都可當作圓電流．根據畢奧-薩伐爾定律，每匝線圈的電流在軸線上產生的磁感強度都沿軸線方向，故知沿軸線方向，即電流的右旋進方向．下面求的大小．

根據畢奧-薩伐爾定律，半徑為的圓電流在軸線上離圓心為處產生的的大小為

． ①

如圖所示，

軸線上處段線圈中的電流為，根據式①，這在球心產生的磁感強度的大小為

． ②

積分便得球心的磁感強度的大小為

． ③

因為， ④

代入式③便得

． ⑤

（2）求端的磁惑強度．如圖所示，軸線上處段線圈中的電流為，根據式①，這在點產生的磁感強度的大小為

， ⑥

所以，． ⑦

由圖可見

， ⑧

， ⑨

． ⑩

代入式⑦便得

．

的方向為電流的右旋進方向．

本題對中學生而言，應該有兩方面的障礙：一是對模型中金屬絲的纏繞方式不理解或理解錯誤，極易將理解為沿圓周單位長度上的線圈匝數；二是由于一般中學生不可能系統地學習微積分的相關內容，在計算的過程中，其積分技巧達不到要求，無法完成相關的計算．上述兩方面的障礙，不論在哪方面出現問題，最后都會導致答題無功而返．