Question

【題目】已知a＞0，b＞0，函數f（x）=|x﹣a|+|x+b|的最小值為2．
（Ⅰ）求a+b的值；
（Ⅱ）證明：a2+a＞2與b2+b＞2不可能同時成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，

∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|≥|（x﹣a）﹣（x+b）|=|﹣a﹣b|=|a+b|=a+b，

∴f（x）min=a+b．

由題設條件知f（x）min=2，

∴a+b=2．…5分

證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2 ≤a+b=2，∴ab≤1．

假設a2+a＞2與b2+b＞2同時成立，

則由a2+a＞2及a＞0，得a＞1．

同理b＞1，∴ab＞1，這與ab≤1矛盾．

故a2+a＞2與b2+b＞2不可能同時成立．…

【解析】（Ⅰ）利用絕對值不等式得到函數f(x)的最小值，從而解決問題
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論以及基本不等式得出ab≤1，最后用反證法得證