Question

【題目】如圖，EP交圓于E，C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG=PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F．

（1）求證：AB為圓的直徑；
（2）若AC=BD，求證：AB=ED．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，

∵PD為切線，∴∠PDA=∠DBA，

∵∠PGD=∠EGA，

∴∠DBA=∠EGA，

∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，

∴∠BDA=∠PFA，

∵AF⊥EP，

∴∠PFA=90°．

∴∠BDA=90°，

∴AB為圓的直徑；

（2）證明：連接BC，DC，則

∵AB為圓的直徑，

∴∠BDA=∠ACB=90°，

在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，

∴Rt△BDA≌Rt△ACB，

∴∠DAB=∠CBA，

∵∠DCB=∠DAB，

∴∠DCB=∠CBA，

∴DC∥AB，

∵AB⊥EP，

∴DC⊥EP，

∴∠DCE為直角，

∴ED為圓的直徑，

∵AB為圓的直徑，

∴AB=ED．

【解析】（1）證明AB為圓的直徑，只需證明∠BDA=90°；（2）證明Rt△BDA≌Rt△ACB，再證明∠DCE為直角，即可證明AB=ED．