Question

【題目】將焦距的凸透鏡從正中切去寬度為a的小部分，如圖（a），再將剩下兩半黏接在一起，構成一個“黏合透鏡”，見圖（b）。圖中，在黏合透鏡一側的中心軸線上距鏡20cm處，置一波長的單色點光源S，另一側，垂直于中心軸線放置屏幕，見圖（c）。屏幕上出現干涉條紋，條紋間距，試問：

(1)切去部分的寬度a是多少？

(2)為獲得最多的干涉條紋，屏幕應離透鏡多遠？

Answer 1

【答案】(1) ,(2)

【解析】

(1)首先討論黏合透鏡的上半個透鏡的成像。在圖中OO是黏合透鏡的中心軸線，在OO上方用實線畫出了上半個透鏡，在OO下方未畫下半個透鏡，而是補足了未切割前整個透鏡的其余部分，用虛線表示。整個透鏡的光軸為。

半個透鏡的成像規律應與完整的透像相同。現在物點（即光源）S在黏合透鏡的中心軸線上，即在

圖中透鏡的光軸上方處，離透鏡光心的水平距離正好是透鏡的焦距。根據幾何光學，光源S發出的光線，經透鏡光心的水平距離正好是透鏡的焦距。根據幾何光學，光源S發出的光線，經透鏡折射后成為一束平行光束，其傳播方向稍偏向下方，與光軸（對OO也是一樣）成角為。當透鏡完整時光束的寬度為透鏡直徑透鏡直徑。對于上半個透就，光束寬度為。

同理，S所發的光，經下半個透鏡折射后，形成稍偏向上方的平行光束，與軸成角，寬度也是。

于是，在透鏡右側，成為夾角為的兩束平行光束的干涉問題（見圖），圖中的兩平行光束的重疊區（用陰影表示）即為干涉區。為作圖清楚起見，特別是圖中的角，均遠較實際角度為大。

圖示的是兩束平行光的干涉情況，其中是和上圖中的相對應的。圖中實線和虛線分別表示某一時刻的波峰平面和波谷平面。在垂直于中心軸線屏幕上，A、B、C表示相長干涉的亮紋位置，D、E表示相消干涉的暗紋位置，相鄰波峰平面之間的垂直距離是波長λ。故干涉條紋間距滿足。

在很小的情況下，上式成為。

所以透鏡切去的寬度為

,

，果然是一個很小的角度。

(2)由以上的求解過程可知，干涉條紋間距Δx屏幕離透鏡L的距離無關，這正是兩束平行光干涉的特點。但屏幕必須位于兩束光的相干疊加區才行。圖中以陰影菱形部分表示這一相干疊加區。因為由1式知條紋是等距的，顯然當屏幕位于PQ處可獲得最多的干涉條紋，而PQ平面到透鏡L的距離

。