Question

【題目】如圖甲所示，豎直平面上有一條光滑的四分之一圓弧軌道AB，它的圓心O與A點等高，A到B又有一條光滑的直線軌道，小球從A點自靜止出發沿圓弧軌道到達B點所需的時間記為，沿直線軌道到達B點所需的時間記為。試比較和的大小。若圓弧軌道不足四分之一圓弧，但最低點的切線仍水平，且直線軌道仍連接圓弧兩端，再討論之。

Answer 1

【答案】，

【解析】

解析：這是一個古老的問題，早在伽利略時代就已經提了出來，只是原始問題并不受四分之一圓弧的限制，更具有普遍性。伽利略認為沿圓弧下降得快，不僅如此，他還認為，A、B間的最快速降線就是圓弧，雖然這一結論早已被證明是錯誤的，但作為中學生，要給出確切的軌道仍然不能完成，即便是讓學生比較圓弧軌道與直線軌道的快慢都不是一件容易的事情。下面我們通過構建過渡模型，解決上述問題。

我們先構建如圖乙所示的AB及兩條軌道，讓小球從A點開始，由靜止分別沿不同的軌道滑至B及，很容易證明，小球沿這兩條軌道滑行的時間是相同的，即為。（證明略）

現在乙圖的基礎上作出丙圖。在圖中以C點為頂點作小角的兩條射線，兩條射線在圈弧AB上截得一小段長為的圓弧，在上截得一小段長為的線段。

由圖可知，小球在小圓弧處的速度大小為

。

則小球經過小段圓弧的時間為

。

小球在處的速度大小為。

當為小角時，易得，

則小球經過的時間為

。

將與比較得。

即恒有，再將其累加求和可得。

若圓環軌道不足四分之一圓弧，但最低點的切線仍水平，這是更具有普遍性的模型。作如圖丁所示的圖形，同樣設小球沿圓弧軌道AB運動的時間為，沿直線軌道AB運動的時間為，參照圖示的標注并結合前面的討論內容可知，小球沿直線軌道AB運動的時間與沿豎直線運動的時間相等，同為。

在圖中，圓弧長度為，其中R為圓半徑。圈弧段的速度參量可求得為

。

經此圓弧段所需時間為

。

圖中有關系，由正弦定理得

，

因此。

圓弧段對應的直線段便為

。

段的速度為

。

小球經段的時間為

。

將與作比較得

。

因為，（B在A的下方），所以，即，得，各自累加得與，則必有。

在此作一點說明，伽利略認為A、B間的最快速降線是某條圓弧的觀點雖然不正確，但值得討論的是，連接A、B的所有可能圓弧中究竟是哪一條下降得最快？