Question

【題目】如圖甲所示，一物體從地球表面發射，初速度大小為（式中為第一宇宙速度），初速度方向與豎直方向成角。其中。地球視為質量均勻分布的球體，忽略空氣阻力和地球自轉的影響.請解答以下問題：

(1)意味著什么？

(2)物體運動過程中有哪些物理量守恒？

(3)求物體能到達的最大高度，并討論和兩種特殊情況。

Answer 1

【答案】(1)由題意知。這意味著物體發射的初速度小于第二宇宙速度，物體不能脫離地球引力的束縛，只能繞地球運動。

(2)引力場是有心力場，物體在地球引力作用下的運動是平面運動。如果不考慮空氣阻力，物體在運動過程中機械能及角動量均守恒。

(3) .當和兩種特殊情況見解析。

【解析】

(1)設物體的質量為m，地球的質量為M，地球半徑為R。物體從地球表面發射，成為繞地球運行的人造地球衛星，所需的最小發射速度即為第一宇宙速度。

由萬有引力定律及牛頓運動定律，有

， ①

解得

.

物體脫離地球引力的束縛，成為環繞太陽運動的一顆人造行星，物體的最小發射速度即為第二宇宙速度。

由機械能守恒定律，有

，

解得.

由題意知。這意味著物體發射的初速度小于第二宇宙速度，物體不能脫離地球引力的束縛，只能繞地球運動。

(2)引力場是有心力場，物體在地球引力作用下的運動是平面運動。如果不考慮空氣阻力，物體在運動過程中機械能及角動量均守恒。

(3)設物體運動離地面的最大高度為H，在該處速度為。

由機械能守恒定律，有

③

由角動量守恒定律，有

. ④

聯立①③④方程，得

.

解關于的一元二次方程，得

. ⑤

⑤即為物體達到最大高度表達式。

討論：

I.當發射角度，⑤式簡化為

，

解得（舍去），.

關于結果作兩點討論：

i.如果，則根據（g為地球表面的重力加速度）及，

解得.

這是我們所熟知的物體豎直上拋運動的結果。

ii.如果，則.

Ⅱ.當發射角度時，⑤式簡化為

平拋.

解得.

此解的物理意義分析如下：

i.當時，，表明物體無法拋離地面或物體繞地球表面做勻速圓周運動。

ii.當時，物體繞地球眼橢圓軌道運動，，對應物體在近地點；，對應物體在遠地點。

因此，，即為物體在角度時所能達到的最大高度。

當角度時，物體運動所能達到的最大高度還有另一種解法：

如圖乙所示，設物體在遠地點的曲率半徑為。該處速度為。有萬有引力定律及牛頓運動定律，有

.

物體眼橢圓軌道運動，半長軸及半短軸的長度記為，則由數學知識有

.

聯立以上各式及方程④解得

.

本題(3)問，亦可以在極坐標系中建立方程求解。

將物體的發射速度沿徑向和角向分解，寫成

， ⑦

或

⑧

物體達到最大高度H時，徑向速度，角向速度為，由機械能守恒定律及角動量守恒定律有

， ⑨

. ⑩

聯立⑦⑨⑩式解得

.

Ⅰ.當發射角度時，.所得結果同上。

Ⅱ.當發射角度時，.所得結果同上。