Question

（2012?北京一模）如圖為一水箱自動進水裝置．其中水箱高h為3m，桿AB能繞O點在豎直平面轉動，OA=2OB，且O點距箱底1m．C處為進水管閥門，閥門厚度不計，進水管口橫截面積為2cm²．BC為一直桿，A點以一細繩與浮體D相連，浮體D是一個密度為0.4×10³kg/m³的圓柱體，高為0.5m，細繩長為1m．細繩、桿、閥的重力不計，AB桿水平時正好能堵住進水管．當進水管中水的壓強為P₁時，水箱深度為2.4m．設進水管中水的最大壓強為P₂，且P₁：P₂=11：15．現在進水管中水的壓強為P₃，P₃=3.3×10⁴Pa，且P₃＜P₁．求水箱中水的深度為多少時，進水管停止進水．（g取10N/kg）

Answer 1

分析：（1）由題意可知，當水箱中的水恰好滿時進水管中水的壓強最大；分別對圓柱體、杠桿、進水管閥門受力分析，根據力的平衡條件和杠桿的平衡條件以及相互作用力的條件得出杠桿對進水管閥門的拉力；再根據F=Ps=ρgsh求出水箱中水對閥門的壓力，進一步根據力的平衡條件求出進水管中水對閥門的壓力，最后根據P=

F

S

求出進水管中水的最大壓強．
（2）先根據F=Ps=ρgsh求出進水管中的水對閥門的壓力，根據水深3米對進水口壓力才為6N可知此時浮體起作用；根據阿基米德原理表示出此時浮體受到的浮力，根據力的平衡條件結合受力分析得出等式，解等式即可求出此時進水管停止進水時水箱中水的深度．

解答：解：
（1）當進水管中水的壓強為P₁時，分別對浮體D、杠桿及閥門C受力分析，如圖1所示：

當進水管中水的壓強為P₂時，分別對浮體D、杠桿及閥門C受力分析，如圖2所示：
當進水管中水的壓強為P₃時，分別對浮體D、杠桿及閥門C受力分析，如圖3所示：

由第一幅圖和第二幅圖可得：
F₁=F₁′=F_浮-G=ρ_水gs₁h₁-ρ_柱gs₁h₁=（ρ_水-ρ_柱）gs₁h₁
=（1.0×10³kg/m³-0.4×10³kg/m³）×10N/kg×10×10^-4m²×0.5m=3N，
由F₁?0A=F₂?OB可得：
F₂′=F₂=2F₁=6N，
由第三幅圖可得：
F₃=P_水S=ρ_水gsh=1.0×10³kg/m³×3m×2×10^-4m²=6N，
F=F₂′+F₃=6N+6N=12N，
進水管中水的壓強不能超過
P_進=

F

S

=

12N

2×10-4m2

=6.0×10⁴Pa．
（2）F′=P_進′S=3.3×10⁴Pa×2×10^-4m²=6.6N，
由于水深3m對進水口壓力才為6N，故浮體起作用時設水深為h′則
2ρ_水gS₁（h′-2m）-2ρ_柱gS₁h₁+ρ_水gh′S=F′，
整理可得：h′=

F′+(2ρ水×2m+ρ柱h1)gS1

(2S1+S) ρ水g

=

6.6N+2×(1.0×103kg/m3×2m+0.4×103kg/m3×0.5m)×10N/kg×10×10-4m2

(2×10×10-4m2+2×10-4m2)×1.0×103×10N/kg

≈2.3m．
答：水箱中的水深度達到2.3m時，進水管停止進水．

點評：此題綜合性很強，且難度很大；解答時，從進行受力分析入手，再將題目進行分解：浮力問題、杠桿平衡條件問題、壓強問題；將三類問題通過力有機的結合在一起，充分利用題目的已知條件，就可解答此題．