Question

【題目】如圖甲所示，水平地面上有一個底面積為500cm2、高度為50cm的薄壁容器，容器頂部蓋著木板A（上面留有與大氣相通的很多小孔），A下面粘連著正方體B，B與正方體D之間通過一根原長為10cm的輕質彈簧C相連，容器中剛好裝滿水，容器底部的閥門E關閉，此時B對A有向下的作用力，力的大小是40N。已知正方體B的邊長為0.2m，正方體D的邊長為0.1m、質量為0.8kg，彈簧C 的伸長量與受到的拉力關系如圖乙所示。（所有物體均不吸水，不計一切摩擦力，整個過程彈簧軸線方向始終沿豎直方向且兩端都連接牢固，彈簧始終在彈性限度內）求：

（1）圖中彈簧的長度；

（2）正方體B的密度；

（3）打開閥門E放水，當水面從與D上表面相平到剛好與D下表面相平，需要放出多少千克的水？

Answer 1

【答案】（1）8cm （2）1.525×103kg/m3 （3）9kg

【解析】

（1）．以D為研究對象，其受到重力GD、浮力F浮D、彈簧對其的拉力FD三個力而處于靜止，則有GD=F浮D+FD，

正方體D的重力為：

GD =mDg=0.8kg×10N/kg=8N，

正方體D受到的浮力為：

F浮D==1×103kg/m3×10N/kg×（0.1m）3=10N，

所以彈簧對D的拉力大小為：

FD= GD-F浮D=8N-10N=-2N，

說明此時彈簧是被D向上壓縮，壓力大小為FD=2N。根據乙圖可知，此時彈簧被壓縮了2cm，則此時彈簧長度為10cm-2cm=8cm。

（2）．正方體B受到的浮力為：

F浮B===80N，

由于彈簧受到D的壓力為2N，則彈簧對B也有2N的壓力F彈簧，另外B對A有向下的40N作用力，則A對B也有40N的向上的作用力FAB，即總的受到四個力作用：重力GB、浮力F浮B、彈簧對B的壓力F彈簧、A對B的作用力FAB，在這四個力作用下，物體B處于靜止，則：

GB=F浮B+F彈簧+FAB=80N+2N+40N=122N，

則B的質量為：

mB===12.2kg，

所以正方體B的密度為：

ρB===1.525×103kg/m3。

（3）．當水面與D上表面相平時，此時D上表面（即水面）到容器頂部的距離為B的高度加彈簧的長度，為0.2m+0.08m=0.28m，則此時容器中水的深度為h1=0.5m-0.28m=0.22m；當水面與D下表面相平時，此時D不受浮力，其對彈簧的拉力等于其重力為8N，根據乙圖可知，此時彈簧伸長了8cm，彈簧長度為10cm+8cm=18cm=0.18m，則此時D下表面（即水面）到容器頂部的距離為B的高度加彈簧的長度再加D的高度，為0.2m+0.18m+0.1m=0.48m，則此時容器中水的深度為h2=0.5m-0.48m=0.02m。

則當水面從與D上表面相平到剛好與D下表面相平的過程中放出水的體積為：

V水=S容（h1-h2）-VD=500×10-4m2×（0.22m-0.02m）-（0.1m）3=9×10-3m3，

則放出水的質量為：

m水=ρ水V水=1×103kg/m3×9×10-3m3=9kg。

答：（1）．圖中彈簧的長度為8cm；

（2）．正方體B的密度為1.525×103kg/m3；

（3）．打開閥門E放水，當水面從與D上表面相平到剛好與D下表面相平，需要放出9kg的水。