Question

（2012?門頭溝區二模）如圖所示，某科技小組的同學制作了一個打撈物體的自動控制模型，E為配重，AOB是一個質地均勻的長方形橫桿，其質量不計，OA：OB=1：3，在水平位置保持平衡．通過電動機Q可以控制杠桿B端抬起，從而將被打撈物體提起．已知滑輪D重為10N，B端定滑輪和提升電動機P的總質量是1kg，提升電動機P的功率為3W且保持不變，物體M的質量是1kg．只讓提升電動機P工作，當物體M勻速上升時，提升電動機P對繩子的拉力為F₁，B端滑輪組的機械效率為η₁．若用質量為1.5kg物體N代替物體M，只讓提升電動機P工作，當物體N勻速上升時，提升電動機P對繩子的拉力為F₂，B端滑輪組的機械效率為η₂，且η₁：η₂=8：9．不計繩的質量，不計滑輪與軸的摩擦，g取10N/kg，求：
（1）F₁與F₂的比值；
（2）只讓提升電動機P工作，當物體M勻速上升時的速度υ；
（3）當物體N被提升到一定高度后，提升電動機P停止工作，啟動電動機Q將杠桿B端勻速抬起的過程中，電動機Q對繩子的拉力F的大小．

Answer 1

分析：（1）根據M、N的質量，分別求出其重力，然后在提升物體M、N時，進行受力分析如解答中圖（1）（2），可列出平衡方程①3F₁=G_動+G_M；②3F₂=G_動+G_N；再根據η₁：η₂=8：9求出動滑輪的重力，將動滑輪的重力分別代入兩個平衡方程，求出F₁與F₂的數值，即可得出結論．
（2）提升電動機P的功率為3W不變時，利用P=Fv公式變形可求出當物體M勻速上升時υ₁，根據滑輪組有3段繩子承擔，可求出物體M勻速上升時的速度υ．
（3）當物體N被提升到一定高度后，啟動電動機Q將杠桿B端勻速抬起的過程中，對杠桿和滑輪D受力分析，見解答中的圖（3）（4），然后可列出平衡方程F_A．OA=F_B．OB和F_A′=G_D+2F，已經求出G_動、G_N、G_B，可求出F_B，再根據OA：OB=1：3，即可求出G_D=10N，然后可求出電動機Q對繩子的拉力F的大�。�

解答：解：
（1）由已知
G_M=G_B=m_Bg=1kg×10N/kg=10N
G_N=m_Ng=1.5kg×10N/kg=15N
提升物體M、N時，受力分析如圖（1）（2）

平衡方程為
（1）3F₁=G_動+G_M
（2）3F₂=G_動+G_N
∵η₁：η₂=8：9
η₁=

GM

G動+GM

，η₂=

GN

G動+GN

，
由已知及以上關系得：G_動=5N
由方程（1）（2）得出F₁=5N，F₂=

20

3

N
∴F₁：F₂=3：4
（2）提升電動機P的功率為3W不變時，
當物體M勻速上升時，由υ₁=

P

F1

=

3W

5N

=0.6m/s，
∵滑輪組有3段繩子承擔，
∴υ_M=0.2m/s．
（3）當物體N被提升到一定高度后，啟動電動機Q將杠桿B端勻速抬起的過程中，
對杠桿和滑輪D受力分析如圖（3）（4）

平衡方程為
（1）F_A．OA=F_B．OB
（2）F_A′=G_D+2F
∵F_B=G_動+G_N+G_B=30N
OA：OB=1：3，
G_D=10N
由已知及以上關系得
F=40N
答：
（1）F₁與F₂的比值為3：4．
（2）只讓提升電動機P工作，當物體M勻速上升時的速度為0.2m/s．
（3）電動機Q對繩子的拉力為40N．

點評：此類問題是一道復雜的綜合題目，要會正確的對物體進行受力分析，結合平衡狀態求解出各力的大小，進而利用杠桿的平衡條件和機械效率計算公式進行分析求解．