Question

（2011?順義區一模）在圖所示的裝置中DC=3m，OD=1m，A、B兩個滑輪的質量均為2kg，A是邊長為20cm、密度為ρ₁的正方體合金塊，當質量為60kg的人用F₁=80N的力沿豎直方向向下拉繩時，合金塊A全部浸沒在密度為ρ₂的液體中，杠桿恰好在水平位置平衡，此時人對地面的壓強為P₁=1.3×10⁴Pa；若人緩慢松繩，使合金塊下降并與容器底接觸（但不密合），當人用F₂=60N的力向下拉繩時，人對地面的壓強為P₂，容器底對A的壓強為P₃． （杠桿DC的質量不計，ρ₁：ρ₂=3：1、取g=10N/kg）
求：（1）液體的密度ρ₂
（2）P₂、P₃．

Answer 1

分析：（1）當人用F₁=80N的力沿豎直方向向下拉繩杠桿恰好在水平位置平衡時，先分別以滑輪B、杠桿、滑輪A和合金塊為研究對象，再根據力的平衡和杠桿的平衡條件列出等式，解等式得出ρ₁、ρ₂之間的關系．
（2）當人用F₂=60N的力向下拉繩時，先取人為研究對象，分別根據壓強公式求出人與地面的接觸面積，進一步求出拉力F₂=60N時人對地面的壓強P₂；再以滑輪B、杠桿、滑輪A和合金塊為研究對象，根據力的平衡和杠桿的平衡條件列出等式，解等式得出容器底對A的壓強P₃．

解答：解：（1）分別取滑輪B、杠桿、滑輪A和合金塊為研究對象，其受力情況如圖1～4所示．
由圖1可得：T_B=2F₁+G_B=2×80N+2kg×10N/kg=180N，
由杠桿的平衡條件和圖2可得：T_A′=T_B′

OC

OD

=180N×

2m

1m

=360N，
由圖3可得：T₁′=

TA-GA

2

=

T′A-GA

2

=

360N-2kg×10N/kg

2

=170N，
由圖4可知：因為F_浮1+T₁=G，所以ρ₂gV_排+T₁=ρ₁gV_金屬，且T₁=T₁′
即：10N/kg×8×10^-3m³ρ₂+170N=10N/kg×8×10^-3m³ρ₁---------①
（2）取人為研究對象，兩種狀態下的受力情況分別如圖5～6所示，

由圖5可求出人與地面的接觸面積為：
S_人=

G-F′1

P1

=

60kg×10N/kg-80N

1.3×104Pa

=0.04m²，
由圖6，當拉力F₂=60N時，
人對地面的壓強為P₂=

N2

S

=

G-F′2

S

=

60kg×10N/kg-60N

0.04m2

=1.35×10⁴Pa；
分別取滑輪B、杠桿、滑輪A和合金塊為研究對象，其受力情況如圖7～10所示．

由圖7可得：T_B2=2F₂+G_B=2×60N+2kg×10N/kg=140N，
由圖8可得：T_A2'=T_B2'

OC

OD

=140N×

2m

1m

=280N
由圖9可得：T₂'=

TA2-GA

2

=

T′A2-GA

2

=

280N-2kg×10N/kg

2

=130N
由圖10可知：因為ρ₂gV_排+T₂+N₃=ρ₁gV_金屬，且T₂=T₂′，
即：10N/kg×8×10^-3m³ρ₂+130N+N₃=10N/kg×8×10^-3m³ρ₁------②
ρ₁=3ρ₂--------------------③
聯立①②③式可解得：容器底對合金塊的支持力N₃=40N；
合金塊的密度ρ₁=3187.5kg/m³；
液體的密度ρ₂=1062.5kg/m³；
容器底對A的壓強P₃=

N3

S

=

40N

4×10-2m2

=1×10³Pa．
答：（1）ρ₂液體的密度為1062.5kg/m³；
（2）P₂為1.35×10⁴Pa，P₃為1×10³Pa．

點評：本題為力學綜合題，要求靈活利用所學知識、選用所學公式，利用好滑輪組的特點、杠桿平衡條件，能正確的選取研究對象并對其正確的受力分析列出等式是本題的關鍵，難題！