Question

（2013?大興區一模）如圖是一種新型吊運設備的簡化模型示意圖，圖中虛線框里是滑輪組（未畫出），滑輪組繩子的自由端由電動機拉動．工人師傅用該吊運設備勻速打撈落入水中的圓柱形物體A．物體A的底面積為200cm²，高為8m．當物體A露出水面2m時，繩子用豎直向上T₁的力拉物體A，電動機對滑輪組繩子自由端的拉力F₁為2400N，當物體A露出水面4m時，繩子用豎直向上T₂的力拉物體A，電動機對滑輪組繩子自由端的拉力為F₂，機械效率為82%．拉力F₂的功率為600w，已知T_I：T₂=39：41．不計繩的質量，不計滑輪與軸的摩擦．（g=10N/kg），求：
（1）此滑輪組勻速上升的速度v；
（2）此滑輪組最高的機械效率．

Answer 1

分析：（1）①已知物體的底面積和高度以及兩種情況下露出水面的高度，利用阿基米德原理可以得到兩種情況下物體受到的浮力；
②物體在水中受到三個力的作用：重力G、浮力F_浮和滑輪組的拉力T，根據兩種情況下拉力的比例關系已知，據此得到物重G；
③滑輪組對物體的拉力做的功是有用功，對物體的拉力做的功及克服動滑輪重做的功之和為總功，有用功與總功之比為機械效率．已知第二次的機械效率、物重和此時的浮力，從而得到動滑輪的重力；
④不計繩的質量，不計滑輪與軸的摩擦，作用在繩子自由端的拉力是滑輪組對物體拉力和動滑輪重的n分之一，已知第一次作用在繩子自由端的拉力和動滑輪的重力，可以得到作用在動滑輪上的繩子的段數n；已知作用在動滑輪上的繩子段數、物重、此時的浮力和動滑輪重，可以得到此時作用在繩子自由端的拉力F₂；已知拉力的功率和拉力，利用公式v=

P

F

得到手拉繩子的速度；已知手拉繩子的速度和繩子段數得到滑輪組上升的速度；
（2）在機械重一定時，物重越大，機械效率越大．當物體完全離開水面以后，滑輪組的拉力等于物體的重力，所以此時機械效率最大．

解答：已知：S=200cm²=0.02m²  H=8m  h₁=2m  h₂=4m  ρ_水=1.0×10³kg/m³  g=10N/kg 

T1

T2

=

39

41

  η₂=82%  F₁=2400N  P₂=600W
求：（1）v=？（2）η_最大=？
解：
（1）①∵F_浮=ρ_液gV_排
∴兩種情況下物體受到的浮力分別為F_浮1=ρ_水?g?S?（H-h₁）=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.02m²×（8m-2m）=1200N
F_浮2=ρ_水?g?S?（H-h₂）=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.02m²×（8m-4m）=800N
②物體在水中勻速上升過程中，G=F_浮+T
∴T₁=G-F_浮1，T₂=G-F_浮2

T1

T2

=

G-F浮1

G-F浮2

=

39

41

代入數值得

G-1200N

G-800N

=

39

41

解得G=9000N；
③∵η=

W有用

W總

=

W有用

W有用+W額

∴82%=

G-F浮2

G-F浮2+G動

代入數值得82%=

9000N-800N

9000N-800N+G0

解得G_動=1800N；
④∵F=

1

n

（G+G₀）
∴作用在動滑輪上的繩子是段數為n=

G-F浮1+G動

F1

=

9000N-1200N+1800N

2400N

=4
第二次作用在繩子自由端的拉力為F₂=

1

n

（G-F_浮2+G_動）=

1

4

（9000N-800N+1800N）=2500N
∵P=Fv
∴繩子自由端移動的速度為v=

P2

F2

=

600W

2500N

=0.24m/s
∴滑輪組勻速上升的速度為v_物=

1

4

v=

1

4

×0.24m/s=0.06m/s；
（2）滑輪組的最大機械效率為η_最大=

W有用

W有用+W額

=

G

G+G動

=

9000N

9000N+1800N

×100%≈83%．
答：（1）此滑輪組勻速上升的速度為0.06m/s；
（2）此滑輪組最高的機械效率約為83%．

點評：解決此類力學綜合題，需要注意以下幾點：①正確的受力分析，確定研究對象，明確物體受哪幾個力，方向如何，在此基礎上應用相應的公式確定等量關系；②計算過程中一定細心，避免書寫或計算出錯，可以隨時檢查，不要全部完成后再檢查；③此題中機械效率隨拉力的增大而增大．