Question

（2013?崇安區(qū)一模）從高空下落的物體，速度會(huì)越來(lái)越快，而所受空氣阻力也會(huì)隨速度的增大而增大，因此物體下落一段距離后將以某一速度作勻速運(yùn)動(dòng)（如圖頻閃攝影照片），通常把這個(gè)速度稱為收尾速度．例如雨滴從高空下落后越來(lái)越快，但在接近地面時(shí)作勻速運(yùn)動(dòng)．研究發(fā)現(xiàn)，在相同環(huán)境條件下，空氣對(duì)不同材質(zhì)的球形物體的阻力與球的半徑和球的速度都有關(guān)系，下表為某次研究的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

小球編號(hào)	1	2	3	4	5
小球質(zhì)量（g）	2	5	45	40
小球半徑（cm）	0.5	0.5	1.5	2	4
小球收尾速度（m/s）	16	40	40	20	10

（1）編號(hào)為4號(hào)的小球，當(dāng)小球受到的阻力最大時(shí)的速度為

20

m/s，此時(shí)小球受到的阻力為

0.4

N．
（2）比較小球2和3可歸納出：球形物體所受空氣阻力f與球的半徑r的關(guān)系是：當(dāng)收尾速度一定時(shí)，f與

半徑平方

成

正比

關(guān)系．
（3）小明通過比較表格中1、2號(hào)小球的數(shù)據(jù)得出：球形物體所受空氣阻力f除了與小球的半徑有關(guān)，還與球形物體的收尾速度有關(guān)．根據(jù)上述規(guī)律，則5號(hào)小球的質(zhì)量為

80

g．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)小球受到的阻力與重力相等，即所受合力為零時(shí)，小球處于平衡狀態(tài)，受到到達(dá)最大，即達(dá)到首尾速度．
（2）根據(jù)編號(hào)為2、3的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，找出阻力與半徑的關(guān)系．
（3）根據(jù)1、2的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求出空氣阻力與首尾速度的關(guān)系，然后求出編號(hào)為5的小球質(zhì)量．

解答：解：（1）小球達(dá)到首尾速度時(shí)，受到平衡力作用，阻力等于重力，此時(shí)所示阻力最大，小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度最大，由表示編號(hào)為4的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，此時(shí)最大速度為20m/s；小球所受阻力f=G=mg=0.04kg×10N/kg=0.4N．
（2）由編號(hào)為2、3的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，小球的首尾速度相同，小球受的空氣阻力與小球半徑的平方之比

f2

r 2 2

=

m2g

r 2 2

=

0.005kg×10N/kg

(0.005m)2

=2×10³N/m²，

f3

r 2 3

=

m3g

r 2 3

=

0.045kg×10N/kg

(0.015m)2

=2×10³N/m²，由此可知：

f2

r 2 2

=

f3

r 2 3

，由2、3實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，當(dāng)小球的速度不變時(shí)，空氣阻力f與r的平方成正比．
（3）由編號(hào)為1、2的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，在小球半徑相同的情況下，小球所受空氣阻力與空氣阻力成正比，
比值為

1

8

，即f=

1

8

v，由（2）可知，小球所受空氣阻力與半徑平方成正比，即f=br²，則f=

1

8

v×br²=kvr²，b、k為常數(shù)，
由編號(hào)為1、5的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知：

f1

f5

=

m1g

m5g

=

2g

m5

=

kv1 r 2 1

kv5 r 2 5

=

16m/s×(0.5cm)2

10m/s×(4cm)2

，則m₅=80g；
故答案為：（1）20；0.4；（2）半徑平方；正比；（3）80．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了判斷小球的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析等問題，關(guān)鍵知道物體達(dá)到收尾速度時(shí)重力等于阻力，要學(xué)會(huì)應(yīng)用控制變量法解題，還要學(xué)會(huì)分析數(shù)據(jù)．