Question

（2013?咸寧）兩個實心正方體A、B由密度均為ρ的同種材料制成，它們的重力分別是G_A、G_B，將A、B均放置在水平桌面上時，如圖甲所示，兩物體對桌面的壓強分別是P_A、P_B，且P_A：P_B=1：2；當用甲、乙兩組滑輪組分別勻速提升A、B兩物體，如圖乙所示，兩動滑輪重均為G_動，此時兩滑輪組的機械效率之比為33：40；若將A物體浸沒在水中，用甲滑輪組勻速提升，如圖丙所示，勻速提升過程A物體一直沒露出水面，此時甲滑輪組的機械效率為78%．不計繩重和摩擦，ρ_水=1.0×10³kg/m³，求：
（1）A、B兩物體的重力之比G_A：G_B是多少？
（2）滑輪組的動滑輪重力G_動是A物體重力G_A的多少倍？
（3）A、B兩個實心正方體的材料密度ρ是多少kg/m³？

Answer 1

分析：（1）正方體A、B均放置在水平桌面上，則由固體壓強公式P=

F

S

推導出P=

G

S

=

mg

S

=

ρvg

S

=

ρShg

S

=ρgh，兩物體是同種材料制成的，知道兩物體對桌面的壓強之比，利用該公式從而可以計算出A、B兩物體的邊長之比，從而可以計算出體積之比，最后再利用公式G=mg=ρvg計算出A、B兩物體的重力之比．
（2）從圖乙可知，利用滑輪組提升重物時，不計繩重和摩擦，對物體所做的功為有用功，對動滑輪所做的功為額外功．則由機械效率公式η=

W有用

W總

推導出η=

W有用

W有用+W額外

=

G物h

G物h+G動h

=

G物

G物+G動

，知道兩滑輪組的機械效率之比，利用該公式列出一個關于機械效率比值的等式，又知道A、B兩物體的重力之比，從而可以計算出動滑輪重力G_動與A物體重力G_A的比值．
（3）在圖丙中，物體A受到三個力的作用，豎直向下的重力G_A、豎直向上的浮力F_浮和繩子對物體的拉力T，則繩子對物體的拉力T=G_A-F_浮．則機械效率為η=

W有用

W總

=

W有用

W有用+W額外

=

(GA-F浮)h

(GA-F浮)h+G動h

=

GA-F浮

GA-F浮+G動

=

GA-F浮

GA-F浮+ 1 4 GA

=

GA-F浮

5 4 GA-F浮

=

ρAvAg-ρ水vAg

5 4 ρAvAg-ρ水vAg

=78%據此求出正方體的密度．

解答：解：
（1）∵正方體A、B均放置在水平桌面上，
∴P=

F

S

=

G

S

=

mg

S

=

ρvg

S

=

ρShg

S

=ρgh，
而兩物體是同種材料制成的，且P_A：P_B=1：2，
∴

PA

PB

=

ρghA

ρghB

=

hA

hb

=

1

2

，
則A、B兩物體的體積之比為：

vA

vB

=

(hA)3

(hB)3

=

13

23

=

1

8

，
∵G=mg=ρvg，
∴A、B兩物體的重力之比為：

GA

GB

=

ρvAg

ρvBg

=

vA

vB

=

1

8

．
（2）∵η=

W有用

W總

=

W有用

W有用+W額外

=

G物h

G物h+G動h

=

G物

G物+G動

，
∴

ηA

ηB

=

GA GA+G動

GB GB+G動

=

GA

GA+G動

×

GB+G動

GB

=

33

40

①式，
而

GA

GB

=

1

8

，則G_B=8G_A②式，把②式代入①式解得：G_動=

1

4

G_A，
即動滑輪重力G_動是A物體重力G_A的

1

4

倍．
（3）在圖丙中，物體A受到三個力的作用，豎直向下的重力G、豎直向上的浮力和繩子對物體的拉力T，A物體一直沒露出水面，則v_排=v_A，
∴機械效率為：η=

W有用

W總

=

W有用

W有用+W額外

=

(GA-F浮)h

(GA-F浮)h+G動h

=

GA-F浮

GA-F浮+G動

=

GA-F浮

GA-F浮+ 1 4 GA

=

GA-F浮

5 4 GA-F浮

=

ρAvAg-ρ水vAg

5 4 ρAvAg-ρ水vAg

=78%，
化簡得：

ρA-ρ水

5 4 ρA-ρ水

=78%，
而ρ_水=1.0×10³kg/m³，解得ρ_A=8.8×10³kg/m³，
即A、B兩個實心正方體的材料密度ρ是8.8×10³kg/m³．
答：（1）A、B兩物體的重力之比G_A：G_B是1：8．
（2）滑輪組的動滑輪重力G_動是A物體重力G_A的

1

4

倍．
（3）A、B兩個實心正方體的材料密度ρ是8.8×10³kg/m³．

點評：本題為力學綜合題，考查了學生對重力公式、密度公式、壓強公式、效率公式、阿基米德原理的掌握和運用，知識點多、綜合性強，要求靈活運用所學知識求解，利用好η=

W有用

W有用+W額外

=

G物h

G物h+G動h

=

G物

G物+G動

，η=

W有用

W總

=

W有用

W有用+W額外

=

(GA-F浮)h

(GA-F浮)h+G動h

=

GA-F浮

GA-F浮+G動

是解題的關鍵．