Question

（2010?東麗區一模）從高空下落的物體，速度越來越大，所受空氣阻力也會隨速度的增大而增大，因此物體下落一段距離后將以某一速度作勻速直線運動，通常把這個速度稱為收尾速度．求：
（1）一質量m=0.3kg的小球在加速下落20m高度的過程中重力所做的功（g取10N/kg）．
（2）研究發現，相同環境條件下，空氣對不同材質的球形物體的阻力大小與球的半徑 和速度都有關系．下表為某次研究的實驗數據，根據表格中的數據，求出編號為2、3的小球在達到收尾速度時所受的空氣阻力之比．

小球編號	1	2	3	4
小球質量（×10-2kg）	2	5	45	40
小球半徑（×10-3m）	0.5	0.5	1.5	2
小球的收尾速度m/s	16	40	40	20

（3）根據表格中的數據，小剛研究出了球形物體所受的空氣阻力f與球的收尾速度v的關系．
他的分析如下：由編號1、2兩個小球的數據分析，在半徑r相同的情況下，
收尾速度之比：

v1

v2

=

16

40

=

2

5

     空氣阻力之比

f1

f2

=

m1g

m2g

=

2

5

得出結論：空氣阻力f與收尾速度v成正比．
請你參照小剛的分析思路，求出球形物體所受的空氣阻力f與球的半徑r的關系．

Answer 1

分析：（1）根據公式W=Gh可求出重力所做的功；
（2）物體做勻速直線運動時，重力與阻力是一對平衡力，這樣根據小球的質量可求出其所受空氣阻力之比；
（3）要想分析物體所受的空氣阻力f與球的半徑r的關系，必須選擇收尾速度相同時的數據，再參照對空氣阻力f與收尾速度v的分析思路進行分析．

解答：解：（1）重力做功：W=Gh=mgh=0.3kg×10N/kg×20m=60J；
（2）小球達到收尾速度時，做勻速直線運動，小球受平衡力f=mg，所以編號2、3小球在達到收尾速度時所受空氣阻力之比

f2

f3

=

m2g

m3g

=

m2

m3

=

1

9

；
（3）由編號2、3兩個小球的數據分析，在收尾速度v相同的情況下，半徑之比

r2

r3

=

1

3

 空氣阻力之比

f2

f3

=

m2g

m3g

=

m2

m3

=

1

9

，
得出結論：f與r²成正比．
故答案為：（1）重力所做的功為60J；
（2）空氣阻力之比為1：9；
（3）f與r²成正比．

點評：通過此題考查了對重力做功的計算，利用二力平衡分析空氣的阻力，尤其是對球形物體所受空氣阻力f與球的半徑r的關系的分析是本題的難點，此題也為我們提供了一個很好的參照，值得我們借鑒．