Question

（2009?朝陽區一模）小陽同學在科技月制作了一個多檔位電熱器模型．為了分析接入電路的電阻對電熱器的電功率的影響，他將電表接入電路中，其電路如圖所示，電源兩端電壓不變，R₁=30Ω．當開關S閉合，S₁、S₂ 斷開時，電壓表示數為U₁，當S、S₁、S₂都閉合時，電壓表示數為U₂，已知U₁：U₂=3：8；兩種狀態時，R₂消耗的功率最大值P_大和最小值
P_小之比為4：1；R₃的最小功率為0.9W．請你幫小陽完成下列問題．
（1）畫出上述兩個狀態的等效電路圖；
（2）計算電阻R₂的阻值；
（3）計算電源兩端的電壓；
（4）計算這個電熱器模型中間兩個擋位的功率分別是多少；
（5）計算電流表的最大示數是多少．

Answer 1

分析：（1）根據開關的斷開或閉合狀態，按照電流的流向，畫出等效電路圖；
（2）根據電壓表的示數之比得出并聯時通過電阻R₁的電流I₁和串聯時電路中電流I的關系，再根據R₂消耗的功率最大值P_大和最小值P_小之比得出并聯時通過電阻R₂的電流I₂和串聯時電路中電流I的關系；最后根據并聯電路的電流與電阻的特點，列出電阻R₁與R₂的關系式，即可求出R₂的阻值；
（3）先根據前面得出的R₁、R₂的阻值，求出R₃的阻值，再根據R₃的最小功率，求出串聯時的電流值，利用歐姆定律即可得到電源電壓；
（4）根據歐姆定律公式和電功率的公式得到的功率變形式P=

U2

R

即可求得兩個擋位的功率；
（5）并聯時，電流表的示數是通過電阻R₁、R₂的電流之和，這時示數最大，根據并聯電路的特點即可求得．

解答：解：（1）當開關S閉合，S₁、S₂ 斷開時，電阻逐個順次連接，組成串聯電路；當S、S₁、S₂都閉合時，電流分三路分別流入電阻，即為并聯連接；兩個狀態的等效電路圖如圖：
（2）當開關S閉合，S₁、S₂ 斷開時，三電阻串聯，根據歐姆定律可知，電路中的電流最小，各電阻消耗功率最小，
電壓表測量的是電阻R₁兩端的電壓；
三個開關都閉合時，三電阻并聯，各電阻兩端的電壓為電源電壓，則消耗功率最大，電壓表測量的是電源電壓，
即U₂=U，
串聯時電路中電流為I，U₁=IR₁，R₂消耗的功率最大為P_小=I²R₂，
并聯時U=I₁R₁，R₂消耗的功率最小為P_大=I₂²R₂，
則由U₁：U₂=3：8可知：U₁：U=3：8，

U1

U

=

IR1

I1R1

=

I

I1

=

3

8

，
∴I₁=

8

3

I--------------------------------①
由R₂消耗的功率最大值P_大和最小值P_小之比為4：1可知：

P小

P大

=

I 2   R2

I 2 2 R2

 =(

I

I2

)2，即(

I

I2

)2=

P小

P大

=

1

4

，
∴

I

I2

=

1

2

，
∴I₂=2I-------------------------------②
∴并聯時，

R2

R1

=

I1

I2

=

8 3 I

2I

=

4

3

，
∴R₂=

4

3

R₁=

4

3

×30Ω=40Ω．
答：電阻R₂的阻值為40Ω．
（3）串聯時，

U

U1

=

R1+R2+R3

R1

=

8

3

R₃=

5R1-3R2

3

=

5×30Ω-3×40Ω

3

=10Ω
I=

P1串 R3

=

0.9W 10Ω

=0.3A
U=I（R₁+R₂+R₃）=0.3A×（30Ω+40Ω+10Ω）=24V
答：電源兩端的電壓為24V．
（4）這個電熱器模型中間兩個擋位的功率，
P1=

U2

R1

=

(24V)2

30Ω

=19.2W，
P3=

U2

R3

=

(24V)2

10Ω

=57.6W，
答：這個電熱器模型中間兩個擋位的功率分別是19.2W，57.6W．
（5）I₁=

8

3

I=

8

3

×0.3A=0.8A；I₂=2I=2×0.3A=0.6A
電流表最大示數為I₁+I₂=0.8A+0.6A=1.4A．
答：電流表的最大示數為1.4A．

點評：此題主要考查了有關電功率、歐姆定律的計算及應用．做這類題目時關鍵是能夠分析出開關的閉合對電路引起的變化，畫出等效電路圖，同時要能夠根據已知條件列出相應的關系式，從而逐步求解或組成方程組進行求解．