Question

【題目】一質(zhì)量為200g的柱形容器由A、B兩部分組成，底部通過閥門相連通，且兩部分底面積之比SA:SB=1:2，在A中有一底面積為100cm2，高為20cm，密度為0.4×103kg/m3圓柱體M，M底部中心位置通過一條長度為10cm的細(xì)繩與A的底部緊密相連，最初閥門緊閉，容器兩部分均裝有一定量的水，如圖，此時(shí)M對容器底部的壓強(qiáng)為200Pa，A中水的質(zhì)量為0.6kg，容器對水平桌面的壓強(qiáng)為2500Pa（g取10N/kg）。求：

(1)最初M對容器底的壓力；

(2)打開閥門，當(dāng)B中水對容器底部的壓強(qiáng)減小300Pa時(shí)，物體M克服重力做功多少J？

(3)打開閥門后，當(dāng)A、B中水靜止不流動(dòng)時(shí)，細(xì)線對M的拉力為多大？

Answer 1

【答案】(1)2N；(2)0.4J；(3)8N。

【解析】

(1)根據(jù)固體壓強(qiáng)公式的變形公式求解；

(2)通過對最初狀態(tài)的圓柱體M受力分析，求解出其受到的浮力，應(yīng)用阿基米德原理解出此時(shí)水的深度，接著運(yùn)用密度及體積公式求出容器A、B的底面積；然后將B中減少的水轉(zhuǎn)換到A中，求出此時(shí)A中水的體積（此處判斷細(xì)繩是否處于繃直狀態(tài)），根據(jù)M的漂浮狀態(tài)求出其液面以下的高度，將圓柱體M等效成等質(zhì)量的水，進(jìn)而求出A中所有水（包含等效水）的深度，則可求出圓柱體M上升的高度，根據(jù)最終求出克服重力做的功；

(3)根據(jù)先求解容器、圓柱體M以及水的總重，進(jìn)而求出所有水的質(zhì)量、體積；將水分成圓柱體M底面以下部分和以上部分，根據(jù)幾何關(guān)系解出此時(shí)圓柱體M液面以下的高度，應(yīng)用阿基米德原理求出此時(shí)M的浮力，通過對圓柱體M受力分析最后求出細(xì)線對M的拉力。

(1)根據(jù)固體壓強(qiáng)公式可得，最初M對容器底的壓力：

；

(2)圓柱體M的質(zhì)量：

，

最初M受到的浮力：

，

根據(jù)可知，最初M排開水的體積：

則最初A容器中水的深度為：

，

最初A容器中水的體積為：

，

則A容器的底面積為：

，

B容器的底面積為：

，

當(dāng)B中水對容器底部的壓強(qiáng)減小300Pa時(shí)，根據(jù)可知，B中水的減少量為：

，

此時(shí)A中水的總質(zhì)量為：

，

則A中水的總體積為：

，

假設(shè)細(xì)繩處于繃直狀態(tài)，則至少需要水的體積為：

，

所以細(xì)繩未達(dá)到繃直狀態(tài)，此時(shí)M處于漂浮狀態(tài)，其重力與浮力平衡，則有

，

根據(jù)可知排開水的體積為：

，

則此時(shí)M浸入液面以下的高度為：

，

則此時(shí)A中水的深度為：

，

所以M上升的高度為：

，

物體M克服重力做功為：

；

(3)根據(jù)可知，容器、圓柱體M以及水的總重為：

，

則容器中所有水的質(zhì)量為：

，

水的總體積為：

，

細(xì)繩處于拉伸狀態(tài)時(shí)，圓柱體M底面以下部分的水的體積為：

，

則上部剩余水的體積為：

，

此時(shí)圓柱體M浸入水中的高度為：

，

圓柱體M受到的浮力為：

，

對圓柱體M進(jìn)行受力分析可知，細(xì)線對M的拉力為：

。

答：(1)最初M對容器底的壓力為2N；(2)打開閥門，當(dāng)B中水對容器底部的壓強(qiáng)減小300Pa時(shí)，物體M克服重力做功0.4J；(3)打開閥門后，當(dāng)A、B中水靜止不流動(dòng)時(shí)，細(xì)線對M的拉力為8N。