Question

（2012?黃石）為了迎接黃石市第二屆礦冶文化節和第三屆國際乒乓節，某慶典公司正在調試載人熱氣球．已知載人熱氣球球內熱氣的體積為200m³，球內熱氣的密度為0.29kg/m³，球外空氣的密度為1.29kg/m³，球殼、吊籃及其裝備的總質量為120kg，吊籃里的人的質量為58kg，g取10N/kg．
（1）要使熱氣球和人能夠靜止在空中，需要在吊籃里加入多少質量的配重？（由于熱氣的體積遠大于其他部分的體積，故只考慮熱氣所受的浮力．）
（2）若氣球靜止于離地h=10m的空中，人需要沿著繩子下滑到地面．如果人以相對地的速度v₁=2m/s勻速下滑，根據反沖運動知識可知，人在下滑過程中，氣球會以v₂的速度上升，設人的質量為m，氣球的總質量（包括熱空氣、球殼、吊籃以及裝備和配重）為M，則他們的關系滿足mv₁=Mv₂，若在人著陸時，繩子的末端剛好接觸地面，求繩子的長度．
（3）氣球在上浮的過程中，空氣的浮力是否對氣球做了功？如果沒有做功，請說明理由．如果做了功，求浮力做功的功率．

Answer 1

分析：（1）由于熱氣球和人靜止在空中，根據懸浮條件可得F_浮=G_氣+G_人+G_吊籃+G_配重，據此求配重的重力，再利用重力公式求配重的質量；
（2）由題知，Mg=G_氣+G_吊籃+G_配重，據此求氣球的總質量，因為mv₁=Mv₂，可求氣球的上升速度v₂，知道人以相對地的速度，利用速度公式求下滑時間t，可求氣球上浮的距離s，則繩長L=h+s；
（3）根據做功的必要條件判斷浮力是否做功，求出浮力，知道上浮的高度，利用W=Fs求浮力做功．

解答：解：
（1）∵熱氣球和人靜止在空中，
∴F_浮=G_氣+G_人+G_吊籃+G_配重，
∴G_配重=F_浮-（G_氣+G_人+G_吊籃）
=ρ_空氣Vg-（ρ_熱氣Vg+58kg×10N/kg+120kg×10N/kg）
=1.29kg/m³×200m³×10N/kg-（0.29kg/m³×200m³×10N/kg+58kg×10N/kg+120kg×10N/kg）
=220N，
m_配重=

G配重

g

=

220N

10N/kg

=22kg；
（2）∵Mg=G_氣+G_吊籃+G_配重，
即：M×10N/kg=0.29kg/m³×200m³×10N/kg+120kg×10N/kg+220N，
∴M=200kg
由mv₁=Mv₂得
v₂=0.58m/s，
t=

h

v1

=

10m

2m/s

=5s，
氣球上浮的距離s=v₂t=0.58m/s×5s=2.9m，
繩長L=h+s=10m+2.9m=12.9m；
（3）氣球在浮力的方向上移動了距離，浮力做了功，
F_浮=ρ_空氣Vg=1.29kg/m³×200m³×10N/kg=2580N，
P=F_浮v₂=2580N×0.58m/s=1496.4W．
答：（1）要使熱氣球和人能夠靜止在空中，需要在吊籃里加入22kg的配重；
（2）繩子的長度為12.9m；
（3）浮力做功的功率為1496.4W．

點評：本題為力學綜合題，考查了學生對密度公式、阿基米德原理、做功的必要條件、功的公式、速度公式的掌握和運用，知識點多、綜合性強，要求靈活運用所學知識求解．