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(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)…(2³²＋1)＋1．

已知：(a＋b)²＝11，(a－b)²＝5．求：

(1)a²＋b²　　(2)ab

　　八年級甲班和乙班舉行了一次聯歡會．許剛在晚會上表演了一個小小的戲法．他從口袋里拿了一副撲克牌說：“這是一副普通的撲克牌，我要請一位同學將牌洗均勻，誰來洗？”陳逸上來接過牌，啪啪啪地洗了幾次，交給許剛．許剛隨即將牌裝進了口袋說：“牌已洗勻了，現在請一位同學隨便報一個不大于15的正整數，我總能抽出一組牌，其數值相加正好是你所報的數．”大家的臉上顯示出了困惑的表情，真有這么神嗎？花卉報了一個“14”，許剛立即從口袋里的牌中抽出一組牌，攤放在桌上，大家一看是2，4，8這三張牌，它們的和正好是14．報了幾個數，許剛的表現都正確無誤，難道許剛真的會魔法嗎？

　　當然，魔法是不存在的，但這戲法的奧妙在哪里呢？你能揭穿它嗎？

　　這個戲法的最關鍵之處是要構造一組數，使得15以內的正整數都能用這組數中的幾個數的和來表示．這組數是2的連續次冪，即1，2，4，8，不超過15的正整數都可以用以上4個數中的幾個或全部的和來表示．你不妨驗證一下．

　　許剛在做戲法前已抽出了以上的4張牌，并將它們按順序疊好先放置在口袋里．當他叫陳逸洗牌時，因為整個一副牌里只少了4張牌，誰也不會在意的．然后他將洗好的牌放進口袋，將事先選取的4張牌疊放在整副牌的上面．這樣當然可以不費力地抽出需要的幾張．

若要求所報的數不超過31，你會設計嗎？你應如何表演呢(注：撲克牌里找不到16點，你可用K和3代替)？

分別計算圖1和圖2中的陰影部分的面積．

不求出多項式的積，直接求出(3x⁴－2x³＋x²－8x＋7)(2x³＋3x²＋6x＋3)中x³項的系數．

若不論x取何值，多項式x³－2x²－4x－1與(x＋1)(x²＋mx＋n)都相等，求m，n．

已知ab²＝－6，求－ab(a²b⁵－ab³－b)的值．

　　觀察是思考的“外殼”，要想思考得好，一定要善于觀察．數學家在發現或解決問題時往往首先依賴于他對若干現象的觀察－－通過觀察，如果發現某種值得注意的規律，就對它進行研究，并力圖從中發現某種結論，去解釋或描述這種模型，以求問題的順利解決．例如，如果讓你用任意方法去切一塊圓餅，只要通過同一點不超過兩刀，那么最多能得到幾塊？

　　自然，我們用不著特地去買一塊餅來，只要在紙上畫一些圓就行了．我們對各圓進行不同次數的切割，并在表中記錄結果，得到：

　　我們仔細考查一下這張表，看看能否找到其中的規律．從記錄上看，增加的塊數分別是自然數1，2，3．切割次數也分別是1，2，3．這種規律是否繼續有效呢？讓我們再多試幾次，并記錄數據，得到：

　　現在的增加數分別是1，2，3，4，5，可見規律繼續有效．這種規律使我們預測到：切割6次得22塊，切割7次得29塊．并進一步能使我們預測切割任意次所得的塊數．

想一想：切割8次、9次將分別得到多少塊？

我們知道：1²＝1，2²＝4，3²＝9，4²＝16，5²＝25，…，若自然數的平方按由小到大的順序排成：

14916253649…，

則第351個位置的數字是幾？

問題：你能比較2000²⁰⁰¹和2001²⁰⁰⁰的大小嗎？

為了解決這個問題，寫出它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和(n＋1)ⁿ的大小(n是自然數)，然后我們從分析n＝1，n＝2，n＝3，…這些簡單情形入手，從中發現規律，經過歸納猜想得出結論：

(1)通過計算，比較下列各組中兩個數的大小(在橫線上填寫“＞”、“＜”或“＝”號)：

①1²________2¹　　②2³________3²　　③3⁴________4³　　④4⁵________5⁴　　⑤5⁶________6⁵

(2)從第(1)題的結果經過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和(n＋1)ⁿ的大小關系是________．

(3)根據上面歸納猜想到的結論，試比較下列兩個數的大小：2000²⁰⁰¹________2001²⁰⁰⁰．