Question

【題目】△ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB＝∠ABC＝α，點D為BC邊上任意一點，點E在AD延長線上，且BC＝BE．

（1）當α＝30°，點D恰好為BC中點時，補全圖1，求∠BEA的度數；

（2）如圖2，若∠BAE＝2α，此時恰好DB＝DE，連接CE，求證：△ABE≌△CEB．

Answer 1

【答案】（1）30°（2）證明見解析

【解析】

（1）只要證明AE⊥BC，△BCE是等邊三角形即可解決問題；

（2）如圖2中，延長CA到F，使得BF＝BC，則BF＝BE＝BC，連接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N，只要證明Rt△BMF≌Rt△BNE，推出∠BEA＝∠F，由BF＝BC，推出∠F＝∠C＝α，推出∠BEA＝α即可．

（1）補全圖1，如圖所示．

∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AE⊥BC，

∴EB＝EC，∠ADB＝90°，

∵∠ABC＝30°，

∴∠BAE＝60°

∵BC＝BE，

∴△BCE是等邊三角形，∠DEB＝∠DEC，

∴∠BEA＝30°；

（2）延長CA到F，使得BF＝BC，則BF＝BE＝BC，連接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N，

∵∠ACB＝∠ABC＝α，

∴∠FAB＝∠ABC+∠ACB＝2α，

∵∠BAE＝2α，

∴∠MAB＝∠NAB，

∴BM＝BN，

在Rt△BMF與Rt△BNE中，

，

∴Rt△BMF≌Rt△BNE（HL），

∴∠F＝∠AEB，

∵BF＝BC，

∴∠F＝∠ACB＝α，

∴∠AEB＝α，

∴∠ACB＝∠AEB，

∴A，B，E，C四點共圓，

∴∠BAE＝∠ECB，

在△ABE與△CEB中，

，

∴ABE≌△CEB（AAS）．