Question

（2011年青海，28,12分已知一元二次方程x²－4x＋3=0的兩根是m，n且m＜n.如圖12，若拋物線y=-x²+bx

+c的圖像經過點A（m，0）、B（0，n）.

（1）求拋物線的解析式.

（2）若（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為C.根據圖像回答，當x取何值時，拋物線的圖像在直線BC的上方？

（3）點P在線段OC上，作PE⊥x軸與拋物線交與點E，若直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分，求點P的坐標.

 

Answer 1

（1）∵x²－4x+3=0的兩個根為  x₁=1,x₂=3

∴A點的坐標為（1,0），B點的坐標為（0,3）

又∵拋物線y=－x²+bx+c的圖像經過點A（1,0）、B（0,3）兩點

∴拋物線的解析式為  y=－x²-2x+3

（2）作直線BC

由（1）得，y=－x²-2x+3

∵ 拋物線y=－x²－2x+3與x軸的另一個交點為C 令－x²－2x+3=0

解得：x₁=1，x₂=－3

∴C點的坐標為（－3,0）

由圖可知：當－3＜x＜0時，拋物線的圖像在直線BC的上方.

(3)設直線BC交PE于F，P點坐標為（a,0）,則E點坐標為（a，－a²－2a+3）

∵直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分.

∴F是線段PE的中點.

即F點的坐標是（a，）

∵直線BC過點B（0.3）和C(-3,0)

易得直線BC的解析式為y=x+3

∵點F在直線BC上，所以點F的坐標滿足直線BC的解析式

即=a+3

解得  a₁=－1,a₂=－3(此時P點與點C重合，舍去)

∴P點的坐標是（－1,0）

解析:略