Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD切⊙O于點D，AM⊥CD于點M，連接AD，BD.

（1）求證：∠ADC=∠ABD；

（2）若AD=2，⊙O的半徑為3，求MD的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接OD，由切線的性質和圓周角定理即可得到結果；

（2）由已知條件證得△ADM∽△ABD，即可得到結論．

試題解析：（1）連接OD，如圖：

∵直線CD切⊙O于點D，∴∠CDO=90°，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，

∴∠ADC+∠ADO=∠ADO+∠ODB=90°，∴∠ADC=∠ODB，

∵OB=OD，∴∠ODB=∠ADB，

∴∠ADC=∠ABD； …………5分

（2）∵⊙O的半徑為3，AB=6，

∵∠ADB=90°，∴DB═ ，

∵∠AMD=∠ADB=90°，∠ADC=∠ABD，

∴△ADM∽△ABD，

∴，即

∴DM=2．