Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，直線與軸分別交于點、點，直線交于點，是直線上一動點，且在點的上方，設點.

（1）當四邊形的面積為38時，求點的坐標，此時在軸上有一點，在軸上找一點，使得最大，求出的最大值以及此時點坐標；

（2）在第（1）問條件下，直線左右平移，平移的距離為. 平移后直線上點，點的對應點分別為點、點，當為等腰三角形時，直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（1）點D的坐標為（﹣2，10）, 點M的坐標為（0，）時，|ME﹣MD|取最大值2;(2) 當△A′B′D為等腰三角形時，t的值為﹣2﹣4、4、﹣2+4或9

【解析】

（1）將x=-2代入直線AB解析式中即可求出點C的坐標，利用分割圖形求面積法結合四邊形AOBD的面積為38即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出m值，在x軸負半軸上找出點E關于y軸對稱的點E′（-8，0），連接E′D并延長交y軸于點M，連接DM，根據三角形三邊關系即可得出此時|ME-MD|最大，最大值為線段DE′的長度，由點D、E′的坐標利用待定系數法即可求出直線DE′的解析式，將x=0代入其中即可得出此時點M的坐標，再根據兩點間的距離公式求出線段DE′的長度即可；
（2）根據平移的性質找出平移后點A′、B′的坐標，結合點D的坐標利用兩點間的距離公式即可找出B′D、A′B′、A′D的長度，再根據等腰三角形的性質即可得出關于t的方程，解之即可得出t值，此題得解．

（1）當x＝﹣2時，y＝，

∴C（﹣2，），

∴S四邊形AOBD＝S△ABD+S△AOB＝CD（xA﹣xB）+OAOB＝3m+8＝38，

解得：m＝10，

∴當四邊形AOBD的面積為38時，點D的坐標為（﹣2，10）．

在x軸負半軸上找出點E關于y軸對稱的點E′（﹣8，0），連接E′D并延長交y軸于點M，連接DM，此時|ME﹣MD|最大，最大值為線段DE′的長度，如圖1所示．

DE′＝．

設直線DE′的解析式為y＝kx+b（k≠0），

將D（﹣2，10）、E′（﹣8，0）代入y＝kx+b，

，解得：，

∴直線DE′的解析式為y＝x+，

∴點M的坐標為（0，）．

故當點M的坐標為（0，）時，|ME﹣MD|取最大值2．

（2）∵A（0，8），B（﹣6，0），

∴點A′的坐標為（t，8），點B′的坐標為（t﹣6，0），

∵點D（﹣2，10），

∴B′D＝，

A′B′＝＝10，A′D＝．

△A′B′D為等腰三角形分三種情況：

①當B′D＝A′D時，有＝，

解得：t＝9；

②當B′D＝A′B′時，有＝10，

解得：t＝4；

③當A′B′＝A′D時，有10＝，

解得：t1＝﹣2﹣4（舍去），t2＝﹣2+4．

綜上所述：當△A′B′D為等腰三角形時，t的值為﹣2﹣4、4、﹣2+4或9．