Question

觀察下面的變形規律：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；…
解答下面的問題：
（1）若n為正整數，請你猜想

1

n(n+1)

=______；
（2）證明你猜想的結論；
（3）求和：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

．

Answer 1

（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

n+1-n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

；

（3）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

=1-

1

2012

=

2011

2012

．