Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點(diǎn)，AC平分∠DAB,ADCD,垂足為D，AD交⊙O 于E,連接CE.（1）求證：CD 是⊙O 的切線

（2）若E是弧AC的中點(diǎn)，⊙O 的半徑為1，求圖中陰影部分的面積。

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）由AC為角平分線得到一對(duì)角相等，再由OA=OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到OC與AD平行，根據(jù)AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得證；

（2）根據(jù)E為弧AC的中點(diǎn)，得到弧AE=弧EC，利用等弧對(duì)等弦得到AE=EC，可得出弓形AE與弓形EC面積相等，陰影部分面積拼接為直角三角形DEC的面積，求出即可．

試題解析：解：（1）∵AC為∠DAB的平分線，∴∠DAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD與圓O相切；

（2）連接EB，交OC于F．∵E為弧AC的中點(diǎn)，∴弧AE==弧EC，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA．又∵∠EAC=∠OAC，∴∠ECA=∠OAC，∴CE∥OA．又∵OC∥AD，∴四邊形AOCE是平行四邊形，∴CE=OA，AE=OC．又∵OA=OC=1，∴四邊形AOCE是菱形．∵AB為直徑，得到∠AEB=90°，∴EB∥CD．∵CD與⊙O相切，C為切點(diǎn)，∴OC⊥CD，∴OC∥AD，∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴OF為△ABE的中位線，∴OF=AE=，即CF=DE=，在Rt△OBF中，根據(jù)勾股定理得：EF=FB=DC=，則S陰影=S△DEC=．