Question

【題目】在△ABC中，以AB為斜邊，作直角△ABD，使點D落在△ABC內，∠ADB=90°．

（1）如圖1，若AB=AC，∠DBA=60°，AD=7 ，點P、M分別為BC、AB邊的中點，連接PM，求線段PM的長；
（2）如圖2，若AB=AC，把△ABD繞點A逆時針旋轉一定角度，得到△ACE，連接ED并延長交BC于點P，求證：BP=CP；
（3）如圖3，若AD=BD，過點D的直線交AC于點E，交BC于點F，EF⊥AC，且AE=EC，請直接寫出線段BF、FC、AD之間的關系（不需要證明）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，

∵∠ADB=90°，∠DBA=60°，AD=7 ，

∴∠BAD=30°，

∴AB=2BD，設BD=a，則AB=2a，

∵AB2=BD2+AD2，

∴（2a）2=a2+（7 ）2，

∴a=7，

∴AB=AC=14，

∵AM=MB，PB=PC，

∴PM= AC=7

（2）

證明：如圖2中，在ED上截取EQ=DP，連接CQ．

∵AD=AE，

∴∠1=∠2，

∵∠ADB=∠AEC=90°，

∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∵BD=EC，

∴△EQC≌△DPB，

∴CQ=BP，∠QCE=∠DBP，

∵∠CQP=∠3+∠QCE，∠CPQ=∠4+∠DBP，

∴∠CQP=∠CPQ，

∴CQ=PC，

∴PB=PC．

（3）

解：結論：2AD2=FB2+CF2．

理由：如圖3中，連接AF交BD于N，連接CD延長至H．

∵EA=EC，EF⊥AC，

∴DA=DC，

∵∠ADB=90°，DA=DB，

∴DA=DC=DB，∴∠DBA=∠DAB=45°，AB= AD，

∴∠DAC=∠DCA，∠DBC=∠DCB，

∵∠ADH=∠DAC+∠ACD，∠BDH﹣∠DBC+∠DCB，

∴∠ADB=2∠ACD+2∠DCB=90°，

∴∠ACF=45°，

∵FA=FC，

∴∠FAC=∠FCA=45°，

∴∠AFC=90°

∵∠AND=∠BNF，∠ADN=∠BFN=90°，

∴△AND∽△BNF，

∴ ，

∴ ，∵∠ANB=∠DNF，

∴△ANB∽△DNF，

∴∠DFN=∠ABD=45°，

∵FE⊥AC，AE=EC，

∴FA=FC，∠AFE=∠CFE=45°，

∴∠AFC=∠AFB=90°，

∴AB2=BF2+AF2，

∴2AD2=BF2+CF2

【解析】（1）根據直角三角形30度角性質求出AB，再根據三角形中位線定理即可求出PM．（2）如圖2中，在ED上截取EQ=DP，連接CQ．首先證明△EQC≌△DPB，推出QC=PB，再證明QC=PC即可解決問題．（3）結論：2AD2=FB2+CF2 ． 如圖3中，連接AF交BD于N．由△AND∽△BNF，推出 ，推出 ，又∠ANB=∠DNF，推出△ANB∽△DNF，從∠DFN=∠ABD=45°，在RtABF中利用勾股定理即可證明．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和三角形中位線定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．