Question

【題目】如圖，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC的延長線于F，且垂足為E，則下列結論：①AD＝BF；②BF＝AF；③AC＋CD＝AB；④AB＝BF；⑤AD＝2BE，其中正確的結論有( )個.

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據∠ACB=90°，BF⊥AE，得出∠ACB=∠BED=∠BCF=90°，可推出∠F=∠ADC，證明△BCF≌△ACD，根據全等三角形的性質即可判斷①，根據垂線段最短可判斷②；由△BCF≌△ACD得CD=CF，則AC+CD=AF，根據全等三角形的判定ASA得出△BEA≌△FEA，可得AB=AF，即可判斷③④，根據△BCF≌△ACD得AD=BF，根據三線合一推出BE=EF，即可判斷⑤．

解：∵∠ACB=90°，BF⊥AE，
∴∠ACB=∠BED=∠BCF=90°，
∴∠F+∠FBC=90°，∠BDE+∠FBC=90°，
∴∠F=∠BDE，
∵∠BDE=∠ADC，
∴∠F=∠ADC，
∵AC=BC，
∴△BCF≌△ACD，
∴AD=BF，∴①正確；

∵BF⊥AE，
∴AF＞AE＞AD，

∵AD=BF，
∴AF＞BF ，即BF≠AF，②錯誤；
∵△BCF≌△ACD，
∴CD=CF，
∴AC+CD=AF，

∵AE平分∠BAC，BF⊥AE，

∴∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA=90°，

又∵AE=AE，

∴△BEA≌△FEA，
∴AB=AF，
∴AC+CD=AB．
∴③正確；
∵BF=AD，AF＞AE＞AD，AF=AB，
∴AB＞BF，
∴④錯誤；
∵AB=AF，AE⊥BF，
∴BE=EF，

∴BF=2BE，

∵△BCF≌△ACD，
∴AD=BF=2BE，
∴⑤正確；
正確的有：①③⑤．

故選：C．