Question

【題目】如圖，直線AB經過x軸上的點M，與反比例函數y= （x＞0）的圖象相交于點A（1，8）和B（m，n），其中m＞1，AC⊥x軸于點C，BD⊥y軸于點D，AC與BD交于點P．

（1）求k的值；
（2）若AB=2BM，求△ABD的面積；
（3）若四邊形ABCD為菱形，求直線AB的函數解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（1，8）在y= 上，
∴k=8.

（2）解：∵A（1，8），B（m，n），
∴AP=8﹣n，AC=8，
∵AB=2BM，

∴ =，

∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，
∴BP∥CM，

∴==，
即= ，
∴n=，

把B（m，）代入反比例函數解析式可得m=3，
∴BD=3，

∴S△ABD=BD·AP=×3×（8﹣）=8；

（3）解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BP=DP，
∴點P坐標為（m，n），
∵PA=PC，
∴P（1，4），
∴ m=1，n=4，
∴m=2，n=4，
∴B（2，4），
設直線AB解析式為y=sx+b，

，
∴，

∴直線AB的解析式為y=﹣4x+12．

【解析】（1）將點A（1，8）坐標代入y= 即可得出k值.
（2）解：根據A（1，8），B（m，n），得出 =，由BP∥CM得==，從而求出n=，將點B（m，）代入反比例函數解析式可得m=3，即BD=3，再根據S△ABD=BD·AP即可得出答案.
（3）由菱形性質得BP=DP，即得點P（m，n），由等腰三角形性質得P（1，4），從而求出m=2，n=4，即B（2，4）；再根據待定系數法求出
直線AB解析式.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用確定一次函數的表達式和三角形的面積的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；三角形的面積=1/2×底×高．