Question

如圖1，將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對(duì)角線BD（EF）剪開(kāi)，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD與△ECF疊放在一起．
（1）操作：如圖2，將△ECF的頂點(diǎn)F固定在△ABD的BD邊上的中點(diǎn)處，△ECF繞點(diǎn)F在BD邊上方左右旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)FC交BA于點(diǎn)H（H點(diǎn)不與B點(diǎn)重合），F(xiàn)E交DA于點(diǎn)G（G點(diǎn)不與D點(diǎn)重合）．
求證：BH•GD=BF²
（2）操作：如圖3，△ECF的頂點(diǎn)F在△ABD的BD邊上滑動(dòng)（F點(diǎn)不與B、D點(diǎn)重合），且CF始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AG∥CE，交FE于點(diǎn)G，連接DG．
探究：FD+DG=

 

．請(qǐng)予證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出△BFH∽△DGF，即可得出答案；
（2）利用已知以及平行線的性質(zhì)證明△ABF≌△ADG，即可得出FD+DG的關(guān)系．

解答：證明：（1）∵將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對(duì)角線BD（EF）剪開(kāi)，
∴∠B=∠D，
∵將△ECF的頂點(diǎn)F固定在△ABD的BD邊上的中點(diǎn)處，△ECF繞點(diǎn)F在BD邊上方左右旋轉(zhuǎn)，
∴BF=DF，
∵∠HFG=∠B，
又∵∠HFD=∠HFG+∠GFD=∠B+∠BHF
∴∠GFD=∠BHF，
∴△BFH∽△DGF，
∴

BF

DG

=

BH

DF

，
∴BH•GD=BF²；

（2）∵AG∥CE，
∴∠FAG=∠C，
∵∠CFE=∠CEF，
∴∠AGF=∠CFE，
∴AF=AG，
∵∠BAD=∠C，
∴∠BAF=∠DAG，
又∵AB=AD，
∴△ABF≌△ADG，
∴FB=DG，
∴FD+DG=BD，
故答案為：BD．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定以及全等三角形的判定，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAF=∠DAG是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．