Question

如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，連接DE，過點C作CF⊥DE于F，過點A作AG∥CF交DE于點G．

（1）求證：△DCF≌△ADG．
（2）若點E是AB的中點，設∠DCF=α，求sinα的值．

Answer 1

（1）證明見解析
（2）sinα=。

試題分析：（1）由正方形的性質得AD=DC，∠ADC=90°，根據垂直的定義求出∠CFD=∠CFG=90°，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠AGD=∠CFG=90°，從而得到∠AGD=∠CFD，再根據同角的余角相等求∠ADG=∠DCF，然后利用“角角邊”證明△DCF和△ADG全等即可。
（2）設正方形ABCD的邊長為2a，表示出AE，再利用勾股定理列式求出DE，然后根據銳角的正弦等于對邊比斜邊求出∠ADG的正弦，即為α的正弦。　
解：（1）證明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°，
∵CF⊥DE，∴∠CFD=∠CFG=90°。
∵AG∥CF，∴∠AGD=∠CFG=90°。∴∠AGD=∠CFD。
又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°，∠DCF+∠CDE=90°，∴∠ADG=∠DCF。
∵在△DCF和△ADG中，∠AGD=∠CFD，∠ADG=∠DCF，AD=DC，
∴△DCF≌△ADG（AAS）。
（2）設正方形ABCD的邊長為2a，
∵點E是AB的中點，∴AE=×2a=a。
在Rt△ADE中，，
∴。
∵∠ADG=∠DCF=α，∴sinα=。