Question

【題目】如圖，拋物線 y＝﹣x2﹣2x+3 的圖象與 x 軸交于 A、B 兩點（點 A 在點 B 的左邊），與 y軸交于點 C，點 D 為拋物線的頂點．

（1）求點 A、B、C 的坐標；

（2）點 M（m，0）為線段 AB 上一點（點 M 不與點 A、B 重合），過點 M 作 x 軸的垂線，與直線 AC 交于點 E，與拋物線交于點 P，過點 P 作 PQ∥AB 交拋物線于點 Q，過點 Q 作 QN⊥x 軸于點 N，可得矩形 PQNM．如圖，點 P 在點 Q 左邊，試用含 m 的式子表示矩形 PQNM 的周長；

（3）當矩形 PQNM 的周長最大時，m 的值是多少？并求出此時的△AEM 的面積；

（4）在（3）的條件下，當矩形 PMNQ 的周長最大時，連接 DQ，過拋物線上一點 F 作 y 軸的平行線，與直線 AC 交于點 G（點 G 在點 F 的上方）．若 FG＝2DQ，求點 F 的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0）；（2）矩形 PMNQ 的周長＝﹣2m2﹣8m+2；（3）矩形的周長最大時，m＝﹣2；△AEM的面積為 ；（4）F（﹣4，﹣5）或（1，0）．

【解析】

（1）利用函數圖象與坐標軸的交點的求法，求出點A，B，C的坐標；

（2）先確定出拋物線對稱軸，用m表示出PM，MN即可；

（3）由（2）得到的結論判斷出矩形周長最大時，確定出m，進而求出直線AC的解析式即可；

（4）在（3）的基礎上，判斷出N應與原點重合，Q點與C點重合，求出DQ＝DC＝2，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．

（1）由拋物線 y＝﹣x2﹣2x+3 可知，C（0，3）．令 y＝0，則 0＝﹣x2﹣2x+3，

解得，x＝﹣3 或 x＝l，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

（2）由拋物線 y＝﹣x2﹣2x+3 可知，對稱軸為 x＝﹣1．

∵M（m，0），

∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，

∴矩形 PMNQ 的周長＝2（PM+MN）＝（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2＝﹣2m2﹣8m+2．

（3）∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，

∴矩形的周長最大時，m＝﹣2．

∵A（﹣3，0），C（0，3）， 設直線 AC 的解析式 y＝kx+b，

∴

解得 k＝l，b＝3，

∴解析式 y＝x+3， 令 x＝﹣2，則 y＝1，

∴E（﹣2，1），

∴EM＝1，AM＝1，

∴S＝AM×EM＝，

即△AEM的面積為.

（4）∵M（﹣2，0），拋物線的對稱軸為 x＝﹣l，

∴N 應與原點重合，Q 點與 C 點重合，

∴DQ＝DC，

把 x＝﹣1 代入 y＝﹣x2﹣2x+3，解得 y＝4，

∴D（﹣1，4），

∴DQ＝DC＝．

∵FG＝DQ，

∴FG＝4．

設 F（n，﹣n2﹣2n+3），則 G（n，n+3），

∵點 G 在點 F 的上方且 FG＝4，

∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4． 解得 n＝﹣4 或 n＝1，

∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．