Question

（2010•資陽）如圖，已知直線y=2x+2交y軸于點A，交x軸于點B，直線l：y=-3x+9
（1）求經過A、B、C三點的拋物線的函數關系式，并指出此函數的函數值隨x的增大而增大時，x的取值范圍；
（2）若點E在（1）中的拋物線上，且四邊形ABCE是以BC為底的梯形，求梯形ABCE的面積；
（3）在（1）、（2）的條件下，過E作直線EF⊥x軸，垂足為G，交直線l于F．在拋物線上是否存在點H，使直線l、FH和x軸所圍成的三角形的面積恰好是梯形ABCE面積的

1

2

？若存在，求點H的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知直線AB和直線l的解析式，易求得A、B、C三點的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；進而得出拋物線的對稱軸方程，拋物線的開口向下，在對稱軸左側函數的函數值隨x的增大而增大．
（2）四邊形ABCE是梯形，且以BC為底，所以AE必與x軸平行，即A、E關于拋物線對稱軸對稱，由此能求得點E的坐標和AE的長，再根據梯形的面積公式求解即可．
（3）在（2）題中已求得了梯形ABCE的面積，則直線l、FH和x軸所圍成的三角形的面積可得；將E點的橫坐標代入直線l的解析式中即可求出F點的坐標，設FH與x軸的交點為M，以CM為底，點F的縱坐標的絕對值為高即可表達出△FMC的面積，再根據上面求得的面積具體值，即可求出CM的長由此得出點M的坐標；首先求出直線FM的解析式，聯立拋物線的解析式即可得出H點的橫坐標．

解答：解：（1）∵直線AB的解析式為y=2x+2，
∴點A、B的坐標分別為A（0，2）、B（-1，0）；
又直線l的解析式為y=-3x+9，∴點C的坐標為（3，0）．
由上，可設經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點A的坐標代入，得：a=-

2

3

，
∴拋物線的解析式為y=-

2

3

x²+

4

3

x+2，
∴拋物線的對稱軸為x=1；
由于拋物線的開口向下，所以函數值隨x的增大而增大時，x的取值范圍是x≤1．

（2）過A作AE∥BC，交拋物線于點E；顯然，點A、E關于直線x=1對稱，
∴點E的坐標為E（2，2）；
故梯形ABCE的面積為 S=

1

2

（2+4）×2=6．

（3）假設存在符合條件的點H，作直線FH交x軸于M；
由題意知，S_△CFM=3，設F（m，n），易知m=2；
將F（2，n）的坐標代入y=-3x+9中，可求出n=3，則FG=3；
∴S_△CFM=

1

2

FG•CM=3，∴CM=2．
由C（3，0）知，M₁（1，0）、M₂（5，0），
設FM的解析式為y=kx+b：
由M₁（1，0）、F（2，3）得，FM₁解析式為y=3x-3，則FM₁與拋物線的交點H滿足：

y=3x-3 y=- 2 3 x2+ 4 3 x+2

，
整理得，2x²+5x-15=0，
∴x=

-5± 145

4

，
由M₂（5，0）、F（2，3）得，FM₂解析式為y=-x+5，則FM₂與拋物線的交點H滿足：

y=-x+5 y=- 2 3 x2+ 4 3 x+2

，整理得，2x²-7x+9=0，
∵△＜0，∴不符合題意，舍去；
即：H點的橫坐標為

-5± 145

4

．

點評：此題主要考查了函數解析式的確定、函數增減性的判定、圖形面積的解法等重要知識；最后一題中，要注意分情況討論，以免漏解．