Question

【題目】綜合與探究：如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，過點B作線段BC⊥x軸，交直線y=﹣2x于點C．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求點B關于直線y=﹣2x的對稱點B′的坐標，判定點B′是否在拋物線上，并說明理由；

（3）點P是拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線，交線段B′C于點D，是否存在這樣的點P，使四邊形PBCD是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣+x+．（2）點B′在該拋物線上．（3）當點P運動到（2，）時，四邊形PBCD是平行四邊形．

【解析】

試題分析：（1）將點A、B的坐標代入拋物線的解析式，得到關于b、c的二元一次方程組，從而可解得b、c的值；

（2）過點B′作B′E⊥x軸于E，BB′與OC交于點F．由平行于y軸的直線上各點橫坐標相同可知點C的橫坐標為2，將x=2代入直線y=﹣2x的解析式可求得點C的坐標∵點B和B′關于直線y=﹣2x對稱，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得OC=5，然后利用面積法可求得BF=2．由軸對稱圖形的性質可知B′F=FB=4．由同角的余角相等可證明∠B′BE=∠BCF，從而可證明Rt△B′EB∽Rt△OBC，由相似三角形的性質可求得B′E=4，BE=8，故此可求得點B′的坐標為（﹣3，﹣4），然后可判斷出點B′在拋物線上；

（3）先根據題意畫出圖形，然后利用待定系數法求得B′C的解析式，設點P的坐標為（x，﹣+x+），則點D為（x，﹣），由平行四邊形的判定定理可知當PD=BC時．四邊形PBCD是平行四邊形，最后根據PD=BC列出關于x的方程即可求得點P的坐標

解：（1）∵y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，

∴．

解得：．

∴拋物線的解析式為y=﹣+x+．

（2）如圖，過點B′作B′E⊥x軸于E，BB′與OC交于點F．

∵BC⊥x軸，

∴點C的橫坐標為5．

∵點C在直線y=﹣2x上，

∴C（5，﹣10）．

∵點B和B′關于直線y=﹣2x對稱，

∴B′F=BF．

在Rt△ABC中，由勾股定理可知：OC===5．

∵S△OBC=OCBF=OBBC，

∴5×BF=5×10．

∴BF=2．

∴BB′=4．

∵∠B′BE+∠B′BC=90°，∠BCF+∠B′BC=90°，

∴∠B′BE=∠BCF．

又∵∠B′EB=∠OBC=90°，

∴Rt△B′EB∽Rt△OBC．

∴，即．

∴B′E=4，BE=8．

∴OE=BE﹣OB=3．

∴點B′的坐標為（﹣3，﹣4）．

當x=﹣3時，y=﹣×（﹣3）2+=﹣4．

所以，點B′在該拋物線上．

（3）存在．

理由：如圖所示：

設直線B′C的解析式為y=kx+b，則，解得：

∴直線B′C的解析式為y=．

設點P的坐標為（x，﹣+x+），則點D為（x，﹣）．

∵PD∥BC，

∴要使四邊形PBCD是平行四邊形，只需PD=BC．又點D在點P的下方，

∴﹣（﹣）=10．．

解得x1=2，x2=5（不合題意，舍去）．

當x=2時，=．

∴當點P運動到（2，）時，四邊形PBCD是平行四邊形．