Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2－4x－5與x軸分別交于A、B（A在B的左邊），與y軸交于點C，直線AP與y軸正半軸交于點M，交拋物線于點P，直線AQ與y軸負半軸交于點N，交拋物線于點Q，且OM＝ON，過P、Q作直線l

(1) 探究與猜想：

① 取點M(0，1)，直接寫出直線l的解析式

取點M(0，2)，直接寫出直線l的解析式

② 猜想：

我們猜想直線l的解析式y＝kx＋b中，k總為定值，定值k為__________，請取M的縱坐標為n，驗證你的猜想

(2) 如圖2，連接BP、BQ．若△ABP的面積等于△ABQ的面積的3倍，試求出直線l的解析式

Answer 1

【答案】（1）①PQ：y＝6x－29，PQ：y＝6x－26；

（2）k＝6；

（3）直線PQ的解析式為y＝6x－21

【解析】試題分析：(1)、①、首先根據二次函數解析式得出點A的坐標，然后根據待定系數法求出直線l的解析式；②、設設M(0，n)，然后分別求出直線AP和AQ的解析式，然后根據直線與拋物線的交點求出點P和點Q的坐標，從而得出直線PQ的解析式，得出k的值；(2)、根據三角形的面積關系得出點P的坐標，從而得出直線PQ的函數解析式.

試題解析：(1) ① P(6，7)、Q(4，－5)，PQ：y＝6x－29

② 設M(0，n) AP的解析式為y＝nx＋n AQ的解析式為y＝－nx－n

聯立，整理得x2－(4＋n)x－(5＋n)＝0

∴xA＋xP＝－1＋xP＝4＋n，xP＝5＋n 同理：xQ＝5－n

設直線PQ的解析式為y＝kx＋b

聯立，整理得x2－(4＋k)x－(5＋b)＝0 ∴xP＋xQ＝4＋k

∴5＋n＋5－n＝4＋k，k＝6

(3) ∵S△ABP＝3S△ABQ ∴yP＝－3yQ ∴kxP＋b＝－3(kxQ＋b) ∵k＝6 ∴6xP＋18xQ＝－b

∴6(5＋n)＋18(5－n)＝4b，解得b＝3n－30

∵xP·xQ＝－(5＋b)＝－5－3n＋30＝(5＋n)(5－n)，解得n＝3 ∴P(8，27)

∴直線PQ的解析式為y＝6x－21