Question

【題目】如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF，解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系是什么？寫出它們之間的數(shù)量關系．
②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，請證明？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？直接寫出條件，不需要證明．
（3）若AC=4 ，BC=3，在（2）的條件下，求△ABC中AB邊上的高．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如圖1，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴∠DAF=90°，AD=AF，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴CF=BD，

∴∠B=∠ACF，

∴∠B+∠BCA=90°，

∴∠BCA+∠ACF=90°，

即CF⊥BD；

②當點D在BC的延長線上時，①的結論仍成立．

如圖2，

由正方形ADEF得：AD=AF，∠DAF=90°．

∵∠BAC=90°，

∴∠DAF=∠BAC．

∴∠DAB=∠FAC．

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC（SAS）．

∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACF=45°．

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

即 CF⊥BD

（2）

解：當∠BCA=45°時，CF⊥BD；

理由如下：

如圖3，過點A作AC的垂線與CB所在直線交于G，

∵∠ACB=45°，

∴△AGC等腰直角三角形，

∴AG=AC，∠AGC=∠ACG=45°，

∵AG=AC，AD=AF，

∵∠GAD=∠GAC﹣∠DAC=90°﹣∠DAC，∠FAC=∠FAD﹣∠DAC=90°﹣∠DAC，

∴∠GAD=∠FAC，

∴△GAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠AGD=45°，

∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°，

∴CF⊥BC；

（3）

解：當具備∠BCA=45°，AC=4 ，BC=3時，

如圖4，過點A作AQ⊥BC交CB的延長線于點Q，

∵∠BCA=45°，

∴AQ=CQ=4．

∴△ABC為鈍角三角形，

∴BQ=1，

由勾股定理得：則AB= = ，

設AB邊上的高為h，

S△ABC= ABh= BCAQ，

∴ h= ×3×4，

∴h= ，

答：△ABC中AB邊上的高為 ．

【解析】（1）①由四邊形ADEF是正方形與AB=AC，∠BAC=90°，易證得△BAD≌△CAF，然后由全等三角形的性質，可證得CF=BD，繼而求得∠BCA+∠ACF=90°，即CF⊥BD；②由四邊形ADEF是正方形與AB=AC，∠BAC=90°，易證得△BAD≌△CAF，然后由全等三角形的性質，可證得CF=BD，繼而求得∠BCA+∠ACF=90°，即CF⊥BD．（2）當∠ACB=45°時，過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G，則∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．（3）如圖4，作輔助線，構建等腰直角三角形，說明△ABC是鈍角三角形，求AQ、BQ、AB的長，用面積法求出AB上的高為 ．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能正確解答此題．