Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣2x+8與x軸、y軸分別交于點A、C，以OA、OC為邊在第一象限內作長方形OABC．

（1）求點A、C的坐標；

（2）將△ABC對折，使得點A的與點C重合，折痕交AB于點D，求直線CD的解析式；

（3）在（2）的條件下，坐標平面內是否存在點P（除點B外），使得△APC與△ABC全等？若存在，直接寫出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），C（0，8）；（2）y=﹣x+8；（3）滿足條件的點P有三個，分別為：（0，0），（，），（﹣，）．

【解析】

試題分析：（1）已知直線y=﹣2x+8與x軸、y軸分別交于點A、C，即可求得A和C的坐標；

（2）根據題意可知△ACD是等腰三角形，算出AD長即可求得D點坐標，最后即可求出CD的解析式；

（3）將點P在不同象限進行分類，根據全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合題意的點P的坐標．

解：（1）令y=0，則﹣2x+8=0，解得x=4，

∴A（4，0），

令x=0，則y=8，

∴C（0，8）；

（2）由折疊可知：CD=AD，

設AD=x，則CD=x，BD=8﹣x，

由題意得，（8﹣x）2+42=x2，

解得x=5，

此時AD=5，

∴D（4，5），

設直線CD為y=kx+8，

把D（4，5）代入得5=4k+8，解得k=﹣，

∴直線CD的解析式為y=﹣x+8；

（3）①當點P與點O重合時，△APC≌△CBA，此時P（0，0）

②當點P在第一象限時，如圖1，

由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，

則點P在直線CD上．過P作PQ⊥AD于點Q，

在Rt△ADP中，

AD=5，AP=BC=4，PD=BD=8﹣5=3，

由AD×PQ=DP×AP得：5PQ=3×4，

∴PQ=，

∴xP=4+=，把x=代入y=﹣x+8得y=，

此時P（，）

③當點P在第二象限時，如圖2，

同理可求得：PQ=，

在RT△PCQ中，CQ===，

∴OQ=8﹣=，

此時P（﹣，），

綜上，滿足條件的點P有三個，分別為：（0，0），（，），（﹣，）．