Question

【題目】(2016四川省樂山市第23題)如圖1，四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=3，BC=2，tanA=．

（1）求CD邊的長；

（2）如圖2，將直線CD邊沿箭頭方向平移，交DA于點P，交CB于點Q （點Q運動到點B停止），設DP=x，四邊形PQCD的面積為，求與的函數關系式，并求出自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）．

【解析】

試題分析：（1）分別延長AD、BC相交于點E，在Rt△ABE中，解直角三角形可得BE，EC，AE的長，又∠E+∠A=90°，∠E+∠ECD=90°，得到∠A=∠ECD，由tanA=，得到cosA= cos∠ECD =，從而得到CD的長；

（2）由（1）可知tan∠ECD=，得到ED=，由PQ∥DC，可知△EDC∽△EPQ，得到PQ=，由，得到y=，而當Q點到達B點時，點P在M點處，由EC=BC，DC∥PQ，得到DM=ED=，故可得自變量x的取值范圍．

試題解析：（1）如圖1，分別延長AD、BC相交于點E，在Rt△ABE中，∵tanA=，AB=3，BC=2，∴BE=4，EC=2，AE=5，又∠E+∠A=90°，∠E+∠ECD=90°，∴∠A=∠ECD，∵tanA=，∴cosA=，∴cos∠ECD=，∴CD=；

（2）由（1）可知tan∠ECD=，∴ED=，如圖2，由PQ∥DC，可知△EDC∽△EPQ，∴，∴，即PQ=，∵，∴，即=，∴當Q點到達B點時，點P在M點處，由EC=BC，DC∥PQ，∴DM=ED=，∴自變量x的取值范圍為：．