Question

【題目】如圖，BD是矩形ABCD的一條對(duì)角線．

(1)作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F，垂足為點(diǎn)O；(要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法)

(2)在(1)中，連接BE和DF，求證：四邊形DEBF是菱形

Answer 1

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】（1）分別以B、D為圓心，以大于 的長(zhǎng)為半徑四弧交于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)作直線即可得到線段BD的垂直平分線；（2）利用垂直平分線證得△DEO≌△BFO即可證得EO=FO，進(jìn)而利用菱形的判定方法得出結(jié)論．

本題解析: (1)如圖所示：EF即為所求；

(2)證明：如圖所示：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，

∵EF垂直平分線段BD，∴BO=DO，

在△DEO和三角形BFO中，

∵

∴△DEO≌△BFO(ASA)，∴EO=FO，

∴四邊形DEBF是平行四邊形，又∵EF⊥BD，

∴四邊形DEBF是菱形。