Question

（2011內蒙古赤峰，24，12分）如圖，直線y=x+3與坐標軸分別交于A、B兩點，拋物線經過點A、B，頂點為C，連結CB并延長交x軸于點E，點D與點B關于拋物線的對稱軸MN對稱。
（1）求拋物線的解析式及頂點C的坐標；
（2）求證：四邊形ABCD是直角梯形。

Answer 1

解：（1）∵直線y=x+3與坐標軸分別交于A、B兩點。
當y=0時，x=－3，∴點A的坐標為（－3，0）
當x =0時，y= 3，∴點B的坐標為（0，3）
把A（－3，0）、B（0，3）代入中得：

∴拋物線的解析式為
∵
∴C點的坐標為（-1，4）。
（2）證明：
方法（一）∵A（－3，0）、B（0，3）、C（-1，4）;
∴OA=OB=3，AN=2，CN=4，CM=MB=1.
在Rt△AOB中，；
在Rt△ANC中，；
在Rt△CMB中，；
∴，∴∠ABC=90°
∵點D、B關于對稱軸CN對稱，∠BCM=45°；
∴∠DCM=45°，則∠DCB=90°；
∴DC∥AB ；
∵AD≠CB ；
∴四邊形ABCD是直角梯形
方法（二）：設直線BC的解析式為y=mx+3；
把C（-1，4）代入，得m=－1；
∴直線BC的解析式為y=－x+3；
當y=0時，x=3，則E點的坐標為（3，0），即OE="3" ；
∵A（－3，0）、B（0，3）；
∴OA="OB=OE=3" 。
∵∠BOA="∠BOE" =90°
∴∠BAO="∠ABO=∠OEB" =∠OBE=45°；
∴∠ABE=90°；
∴∠ABC=90°；
∵點D、B關于對稱軸CN對稱，∠BCM=45°；
∴∠DCM=45°，則∠DCB=90°；
∴DC∥AB ；
∵AD≠CB ；
∴四邊形ABCD是直角梯形解析:
略