Question

【題目】如圖，已知直線y=3x+3與x軸交于點A，與x軸交于點B，過A，B兩點的拋物線交x軸于另一點C（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）（1，）、（1，﹣）、（1，0）或（1，1）

【解析】

試題分析：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c．由一次函數的解析式可求出點A、B的坐標，再結合點A、B、C三點的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）假設存在，根據拋物線的解析式找出拋物線的對稱軸，設出點P的坐標，利用兩點間的距離找出線段PA、PB和AB的長度，分三種情況討論△ABP為等腰三角形，根據等腰三角形的性質找出兩邊相等，從而找出關于m的一元二次方程，解方程求出m值，從而即可得出點P的坐標．

試題解析：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c．

∵直線y=3x+3交x軸于點A，交y軸于點B，

∴A（﹣1，0），B（0，3）．

又拋物線經過A，B，C三點，

∴根據題意，得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）假設存在．

∵拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，

∴該拋物線的對稱軸為x=1．

設點P的坐標為（1，m），又A（﹣1，0），B（0，3），

則AP=，

BP=，

AB=．

△ABP是等腰三角形分三種情況：

①當AB=AP時，，

解得：m1=，m2=﹣，

∴點P的坐標為（1，）或（1，﹣）；

②當AB=BP時，，

解得：m3=0，m4=6（A、B、P三點共線，舍去），

∴點P的坐標為（1，0）；

③當AP=BP時，，

解得：m5=m6=1，

∴點P的坐標為（1，1）．

綜上可得：在拋物線的對稱軸上存在點P，使△ABP是等腰三角形，此時點P的坐標為（1，）、（1，﹣）、（1，0）或（1，1）．