Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），且AB=4，又P是拋物線上位于第一象限的點，直線AP與y軸交于點D，與對稱軸交于點E，設點P的橫坐標為t．

（1）求點A的坐標和拋物線的表達式；

（2）當AE：EP=1：2時，求點E的坐標；

（3）記拋物線的頂點為M，與y軸的交點為C，當四邊形CDEM是等腰梯形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）E（1，4）；（3）t=4．

【解析】分析：（1）依據拋物線的對稱性可得到A、B的坐標，利用拋物線的交點式可得到拋物線的解析式；

（2）過點P作PF∥y軸，交x軸與點F，則△AEG∽△APF，從而可得到AF=6，然后可求得PF的長，從而可得到EG的長，故此可得到點E的坐標；

（3）先證明∠ADO=∠CME，然后，再求得點C和點M的坐標，從而可得到tan∠ADO=1，于是可得到OD=AO=1，故此可得到AP的解析式，最后求得直線AP與拋物線的交點坐標即可．

詳解：（1）∵AB=4，拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=1，∴點A到對稱軸的距離為2，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴y=（x+1）（x﹣3）整理得：y=x2﹣2x﹣3；

（2）如下圖所示：過點P作PF⊥x軸，垂足為F．

∵EG∥PF，AE：EP=1：2，∴==．

又∵AG=2，∴AF=6，∴F（5，0）．

當x=5時，y=12，∴EG=4，∴E（1，4）．

（3）∵CD∥EM，∴∠ADO=∠AEM．

又∵四邊形CDEM是等腰梯形，∴∠ADO=∠CME，∴∠ADO=∠CME．

∵y=x2﹣2x﹣3，∴C（0，﹣3），M（1，﹣4）

∴tan∠DAO=tan∠CME=1，∴OA=OD=1，∴直線AP的解析式為y=x+1．

把y=x+1代入y=x2﹣2x﹣3得：x+1=x2﹣2x﹣3，解得：x=4或x=﹣1（舍去）

∴點P的橫坐標為4，即t=4．