Question

（2013•燕山區一模）定義：對于平面直角坐標系中的任意線段AB及點P，任取線段AB上一點Q，線段PQ長度的最小值稱為點P到線段AB的距離，記作d（P→AB）．
已知O為坐標原點，A（4，0），B（3，3），C（m，n），D（m+4，n）是平面直角坐標系中四點．根據上述定義，解答下列問題：
（1）點A到線段OB的距離d（A→OB）=

2

2

；
（2）已知點G到線段OB的距離d（G→OB）=

5

，且點G的橫坐標為1，則點G的縱坐標為

1-

10

或1+

10

．
（3）當m的值變化時，點A到動線段CD的距離d （A→CD）始終為2，線段CD的中點為M．
①在圖（2）中畫出點M隨線段CD運動所圍成的圖形并求出該圖形的面積．
②點E的坐標為（0，2），m＞0，n＞0，作MH⊥x軸，垂足為H．是否存在m的值，使得以A、M、H為頂點的三角形與△AOE相似？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖（1）過點A作AC⊥OB于C，由B點的坐標就可以得出OB平分∠xOy，由勾股定理就可以求出AC的值而得出結論；
（2）如圖（2），過點G₁作G₁F⊥OB于點F，則G₁F就是點G₁到線段OB的距離．過點D作G₂D⊥OB交直線x=1于點G₂，由直角三角形的性質和勾股定理就可以求出結論；
（3）①如圖（3），運用分類討論思想，當點C在以A為圓心，半徑為2的⊙A的右半圓上時，當點C從C₁到C₂時，當點C從C₄到C₃時，當點D在以A為圓心，半徑為2的⊙A的左半圓上時，點M在圓弧M₁FM₄上運動；根據圓的面積公式和矩形的面積公式就可以求出結論；
②利用分類思想分情況討論如圖（4），當點M位于左側圓弧上時，m≤0，不合題意；如圖（4），當點M位于線段M₁M₂上時，由學生三角形的性質就可以求出結論，如圖（5），當點M位于右側圓弧M₁FM₄上時，連結GM，其中點G是圓弧的圓心，坐標為（6，0）．根據勾股定理建立方程就可以求出結論．

解答：解：（1）作AC⊥OB于C，
∴∠ACO=90°．
∵B（3，3），
∴OB平分∠xOy，
∴∠AOB=45°．
∴∠OAC=45°，
∴∠OAC=∠AOC，
∴AC=OC．
∵A（4，0），
∴OA=4．
在Rt△AOC中，由勾股定理，得
AC=2

2

．
∴點A到線段OB的距離d（A→OB）=2

2

．
故答案為：2

2

；

（2）∵OB平分∠xOy，
∴OB的解析式為：y=x
∵點G的橫坐標為1，
∴點G在直線x=1上，設直線x=1交x軸于點H，交OB于點K．
①如圖，過點G₁作G₁F⊥OB于點F，則G₁F就是點G₁到線段OB的距離．
∵OB的解析式為：y=x，
∴△G₁FK，△DHK均為等腰直角三角形，
∵d（G₁→OB）=

5

，
∴KF=

5

，由勾股定理得GK=

10

，
∵KH=OH=1，
∴HG₁=

10

+1．
即G₁的縱坐標為

10

+1；
②如圖，過點D作G₂D⊥OB交直線x=1于點G₂，由題意知△DKG₂為等腰直角三角形，
∵d（G₂→OB）=

5

，
∴DK=DG₂=

5

，
∴G₂K=

10

．
∴G₂H=

10

-1
∴點G₂同樣是滿足條件的點．
∴點G₂的縱坐標為1-

10

．
綜上，點G的縱坐標為1+

10

或1-

10

．

（3）①如圖（3），當點C在以A為圓心，半徑為2的⊙A的右半圓上時，點M在圓弧M₁FM₄上運動；
當點C從C₁到C₂時，點M在線段M₁M₂上運動；
當點C從C₄到C₃時，點M在線段M₄M₃上運動；
當點D在以A為圓心，半徑為2的⊙A的左半圓上時，點M在圓弧M₂OM₃上運動；
∴點M隨線段CD運動所圍成的封閉圖形是圖中實線部分，面積為16+4π．  
②存在．
圖（4）由A（4，0），E（0，2），得

OE

OA

=

2

4

=

1

2

．
（ i）當點M位于左側圓弧上時，m≤0，不合題意；
（ ii）如圖（4），當點M位于線段M₁M₂上時，
∵MH=2，∴只要AH=1，就有△AOE∽△MHA，
此時OH₁=5，OH₂=3．
∵點M為線段CD的中點，CD=4，
∴OH₁=5時，m=3；OH₂=3時，m=1．               
（ iii）如圖（5），當點M位于右側圓弧M₁FM₄上時，連結GM，其中點G是圓弧的圓心，坐標為（6，0）．
圖（5）設MH₃=x，∵AH₃＞M₃H₃
∴AH₃=2x，∴GH₃=2x-2，又GM=2，
在Rt△MGH₃中，由勾股定理得：（2x-2）²+x²=2²，
解得x1=

8

5

，x₂=0（不合題意，舍去），
此時AH3=

16

5

，OH3=OA+AH3=

36

5

，
∵點M為線段CD的中點，CD=4，∴m=

26

5

．
綜上所述，存在m=1或m=3或m=

26

5

，使得以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似．

點評：本題考查了點到直線的距離的運用，等腰直角三角形的性質的運用，勾股定理的運用，相似三角形的判定及性質的運用，點的坐標的運用，解答時證明三角形相似由相似三角形的性質求解是關鍵．